第16讲 对数运算与对数函数-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）
展开第16讲 对数运算与对数函数
一.对数的概念
一般地，对于指数式，我们把“以为底的对数”记作，即.其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”.
【定义理解】
训练1.将下列指数式写成对数式：
（1） ； （2）.
训练2.将下列对数式写成指数式：
（1）； （2） .
二.对数运算法则
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
例1.计算：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
练习1： 计算：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
例2.已知 ， , 用表示 .
三．对数函数的概念
1.定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
2.常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数,例如简记为.
3.自然对数：我们通常把无理数为底的对数叫做自然对数，例如简记为.
四．对数函数的性质
| ||
图 象 | ||
性 质 | 定义域： | |
值域： | ||
过点，即当时， | ||
时 时 | 时 时 | |
在上是增函数 | 在上是减函数 | |
例3.函数是对数函数，则实数________．
例4.比较下列各组中两个值的大小．
（1）；（2）；（3）
例5.求下列函数的定义域．
（1） （2） （3）
例6.求下列函数的值域：
（1） (2)
例7.已知，求的最大值及相应的的值．
五、对数函数的图象变换及定点问题
（1）与对数函数有关的函数图象过定点问题
对数函数过定点，即对任意的对数函数都有.
（2）对数函数的图象变换的问题
①
②
③
④
例8.若函数的图象恒过定点，则实数的值分别为 .
例9.作出函数的图象．
例10. 解下列不等式：
(1)； （2）．
例11. 若，求实数的取值范围.
例12. 求函数的单调区间．
例13. 求函数的单调区间．
例14. 已知在上是增函数，求实数的取值范围．
例15. 判断函数的奇偶性.
例16. 已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求使的的取值范围．
扩充：反函数
（1）对数函数的反函数
指数函数与对数函数互为反函数．
（2）互为反函数的两个函数之间的关系
①原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；
②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
例17. 若函数是函数的反函数，且，则( )
A． B． C． D．
例18. 函数的反函数的定义域为( )
A． B． C． D．
例19. 若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点( )
A． B． C． D．
跟踪训练——对数与对数运算（一）
- 对应的指数式是（ ）
- B. C. D.
- 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
- 设，则的值等于（ ）
- 10 B. C.100 D.1000
- 设，则底数的值等于（ ）
- 2 B. C. 4 D.
- 已知，那么等于（ ）
- B. C. D.
- 若，则 ；若，则 .
- 计算： ； .
- 求下列各式的值：______；_______.
- 求下列各式中的取值范围：（1）； （2）.
- （1）设，求的值.
（2）设，且，求的值.
对数与对数运算（二）
1．（ ）
A.1 B. C.2 D.
2．化简得结果是（ ）
A. B. C. D.
3．化简的结果是（ ）
A. B.1 C.2 D.
4．已知， 则的值等于（ ）
A.1 B.2 C.8 D.12
5．化简的结果是 （ ）
A.1 B. C.2 D.3
6．计算 .
7．若，则 .
8．（1）已知，试用表示的值；
（2）已知，用表示.
跟踪训练——对数函数及其性质（一）
- 下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
- 当时,在同一坐标系中,函数与的图象是（ ）
A B C D
- 下列函数中哪个与函数是同一个函数（ ）
A. B.
C. D.
- 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
- 若，那么满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
- 求下列函数的定义域：
（1） （2）
- 已知函数，，求：
(1) 的值域；
(2) 的最大值及相应的值.
跟踪训练——对数函数及其性质（二)
- 函数的图象关于（ ）
A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D. 直线对称
- 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
- 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
A. B.2 C. D.4
- 图中的曲线是的图象，已知的值为，则曲线相应的 依次为（ ）
A. B.
C. D.
- 下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
- 函数是 函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
- 函数的反函数的图象过点，则的值为 .
- 求函数的单调区间.
- 若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
