专题01 集合、集合间的关系、集合的运算（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题01 集合、集合间的关系、集合的运算
一、 知识结构思维导图

二、 学法指导与考点梳理
1.集合的概念及其表示
⑴.集合中元素的三个特征：
①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．
⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．
(4).常见的数集及其表示符号
名称
自然数集
(非负整数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示符号
N
或
Z
Q
R


2. 集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)

真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)

集合相等
集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集
A＝B


【名师提醒】
子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
3. 集合之间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形



符号
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

【名师提醒】
1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集个.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .
3．奇数集：.
4. 德▪摩根定律：
①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．

【名师点睛】
1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．
4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
5.求集合并集的两种基本方法：
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.
6.求集合交集的方法为：
（1）定义法，
（2）数形结合法．
（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．
三、 重难点题型突破
考点1 集合的概念及其表示
归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是　　
A．高一某班个子较高的同学 B．比较著名的科学家
C．无限接近于4的实数 D．到一个定点的距离等于定长的点的全体
【答案】D
【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，
选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．

（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是(　　)
A.中国各地最美的乡村； B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
C.不小于3的自然数； D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
【答案】BCD
【解析】A中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD
【变式训练1】（集合的互异性）在集合，，中，的值可以是
　　
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】A
【解析】当a＝0时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，
当a＝1时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，当a＝2时，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，
由集合中元素的互异性知：选A．
【变式训练2】（集合的互异性）若，，，则　　
A． B．0 C．1 D．0 或1
【答案】B
【答案】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，则a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，
a＝1时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a＝0；
②若a2+1＝﹣1，则a2＝﹣2，a无实数解；由①②知：a＝0．故选：B．
考点2 元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
(3)常见的数集及表示符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
归纳总结：
(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（ ）
A．∅∪{0} B． C． D．
【答案】AB
【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；
选项B: 是有理数，故是正确的；
选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的；
选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.
（2）（元素个数问题）集合，的元素个数为　　
A．4 B．5 C．10 D．12
【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x是整数，且12x+3是整数．由此列出x与y对应值，即可得到题中集合元素的个数．
【解析】由题意，集合{x∈Z|y=12x+3∈Z}中的元素满足x是整数，且y是整数，由此可得
x＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；
此时y的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，
符合条件的x共有12个，故选：D．
例3.（单元素集合）若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．
【答案】解：∵集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，
∴a2+a2+b＝a且△＝（a﹣1）2﹣4b＝0解得a＝，b＝．
故a、b的值分别为，.
【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为　　
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．6 B．5 C．4 D．3
【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．
【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，5∈R，故①正确；
在②中，13∈Q，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N，故④错误；
在⑤中，π∉Q，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z，故⑥正确．故选：D．
（2）（元素个数问题）已知集合，2，3，4，，，，，，则集合中的元素个数为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路分析】通过集合B，利用x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，求出x的不同值，对应y的值的个数，求出集合B中元素的个数．
【解析】因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，
当x＝1时，y＝2或y＝3或y＝4；当x＝2时y＝3；
所以集合B中的元素个数为4．故选：C．
【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用．
【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}
（1）当A中元素个数为1时，求：a和A；
（2）当A中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；
（3）求：A中各元素之和．
【思路分析】（1）推导出a＝0或，由此能求出a和A．
（2）当A中元素个数至少为1时，a＝0或，由此能求出a的取值范围．
（3）当a＝0时，A中元素之和为；当a＜1且a≠0时，A中元素之和为；当a＝1时，A中元素之和为﹣1；当a＞1时，A中无元素．
【答案】解：（1）∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}，A中元素个数为1，
∴a＝0或，解得a＝0，A＝{}或a＝1，A＝{﹣1}．
（2） 当A中元素个数至少为1时，a＝0或，解得a≤1，
∴a的取值范围是（﹣∞，1]．
（3）当a＝0时，A中元素之和为；当a＜1且a≠0时，A中元素之和为；
当a＝1时，A中元素之和为﹣1；当a＞1时，A中无元素．
考点3 集合间的基本关系
1.集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合,,若,则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】由可得：当,则，∴，
当,则m应满足:,解得，综上得;
∴实数m的取值范围是.故答案为:.
（2）.（空集）如果，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【思路分析】由A＝∅得不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．
【答案】解：因为A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，所以不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，
当a＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a＝0成立．
当a≠0时，要使ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，则a＞0△=a2-4a≤0，解得0＜a≤4．
综上实数a的取值范围0≤a≤4．
（3）（子集与真子集）已知集合，，，，则　　
A． B．M⊊N C．N⊊M D．M∩N=∅
【思路分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．
【答案】M＝{x|x=k4+12，k∈Z}＝{x|x=k+24，k∈Z}，
N＝{x|x=k2+14，k∈Z}＝{x|x=2k+14，k∈Z}，
∵k+2（k∈Z）为整数，而2k+1（k∈Z）为奇数，∴集合M、N的关系为N⊊M．故选：C．
【变式训练1】．（1）（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合，若，则______；的子集有______个.
【答案】0或 8
【解析】∵集合，，∴或，解得或.
的子集有个.故答案为：0或，8.
（2）若集合，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．，
【解析】∵A＝{x|x2﹣2x+m＝0}＝∅，∴方程x2﹣2x+m＝0无解，即△＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，则实数m的范围为（1，+∞），故选：C．
【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．
考点4 集合的基本运算
1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2．并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.
3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
4. 交集的性质
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A.
5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。
归纳总结：
集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．
(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．
例5．(多选题)（1）已知，，且，则中的元素是（ ）
A．-4 B． 1v
C．13 D．12
【答案】ABD
【解析】由已知得：12-12a+b=0①；12a+b=-152②
则，，,故选ABD.
（2）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，1} B．{﹣1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}
【答案】B
【解析】∵A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，2}．故选：B．
（3）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}
【答案】 A
【解析】图中阴影部分为N∩（∁UM），∵M＝{x|x＜﹣1}，∴∁UM＝{x|x≥﹣1}，
又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，∴N∩（∁UM）＝{x|﹣1≤x＜0}，故选：A．
（4）（多选题）已知集合，则CzA中的元素是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．-2
【答案】AC
【解析】由集合，
解得：，∴，故答案选AC.
【变式训练1】．已知集合A＝{y|y＝x2﹣2x}，B＝{x|x2﹣x＜12}，C＝{x|2a﹣1＜x＜a}．
（1）求A∩B；
（2）若B∪C＝B，求a的取值范围．
【解析】（1）集合A＝{y|y＝x2﹣2x}＝{y|y＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1}＝[﹣1，∞），
B＝{x|x2﹣x＜12}＝{x|x2﹣x﹣12}＝{x|﹣3＜x＜4}＝（﹣3，4），
∴A∩B＝[﹣1，4）；
（2）由B∪C＝B，得C⊆B，又C＝{x|2a﹣1＜x＜a}，
①当C＝∅时，2a﹣1≥a，解得a≥1；
②当C≠∅时，应满足，解得﹣1≤a≤1；
综上，a的取值范围是a≥﹣1．
【变式训练2】．已知M＝{x|﹣2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（1）若a＝3，求M∪（∁RN）．
（2）若N⊆M，求实数a的取值范围．
【答案】（1）当a＝3时，N＝{x|4≤x≤5}，所以∁RN＝{x|x＜4或x＞5}．
所以M∪（∁RN）＝R
（2）①当2a﹣1＜a+1，即a＜2时，N＝∅，此时满足N⊆M．
②当2a﹣1≥a+1，即a≥2时，N≠∅，
由N⊆M，得，即得﹣3≤a≤3，所以2≤a≤3．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，3]．

四、 课堂定时训练（45分钟）
1．下面给出的四类对象中，能组成集合的是　　
A．高一某班个子较高的同学 B．比较著名的科学家
C．无限接近于4的实数 D．到一个定点的距离等于定长的点的全体
【答案】D
【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，
选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．
2.集合，2，3，，当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，则中孤立元素的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由孤立元素的定义知，1，2，3都不是A中孤立元素，
5﹣1＝4∉A且5+1＝6∉A，则5是A的一个“孤立元素”，故选：A．
3.已知集合，，，，若，则　　
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【答案】∵A＝{1，2}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0，a∈R}，
若A＝B，则1，2是方程|x2﹣（a+1）x+a＝0得两根，
则1+2=a+11×2=a，即a＝2．故选：B．
4．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由集合，，所以，
又集合，所以.故选C。
5．已知集合A＝{x∈R|﹣2≤x≤5}，B＝{x∈R|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（　　）
A．[2，3] B．[﹣3，3] C．（﹣∞，3] D．[﹣3，2]
【答案】C
【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A．
又A＝{x∈R|﹣2≤x≤5}，B＝{x∈R|m+1≤x≤2m﹣1}，
∴当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B＝∅，满足B⊆A；
当m≥2时，要使B⊆A，则，即﹣1≤m≤3．
∴2≤m≤3．综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．
6.已知集合，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]
【答案】C
【解析】A＝{x|﹣2＜x＜4}；∴A∩B＝（﹣2，2）．故选：C．
7．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，，所以，故选B。
8．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选C。
9．（2020·上海高一课时练习）设全集为不大于20的素数}，，，，则 ________，________.
【答案】
【解析】由题意，全集，
，集合中含有，，集合中没有，，
，集合中没有，，集合中含有，，
，，
，，故答案为：；.
10．（2020·全国高一）已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.
【答案】{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
【解析】由题意可以确定集合M必含有元素1，2，
且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}.
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.
11．（2020·全国高一）已知集合，，.
（1）若，求；．
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】（1）若时，，
∴，由或，
所以
（2）由知
当时∴，当时或
∴或
综上：的取值范围是.
12.已知集合 ，，，且
（1）求．
（2）写出集合的所有子集．
【解析】（1）∵﹣3∈A，则﹣3＝a﹣2或﹣3＝2a2+5a．
∴a＝﹣1或a=-32．
当a＝﹣1时，a﹣2＝﹣3＝2a2+5a，集合A不满足互异性，
∴a＝﹣1（舍去），当a=-32时，经检验，符合题意，故a=-32；
（2）由（1）知A＝{-72，﹣3，12}
∴A的子集为：Φ，{-72}，{﹣3}，{12}，{-72，﹣3}，{﹣3，12}，{-72，12}，{-72，﹣3，12}．