专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理知识点一　充分条件与必要条件(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)几点说明若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p知识点二　充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 知识点三 全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．知识点四 含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．命题命题的否定∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)  【知识拓展】1．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；2.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 三、重难点题型突破重难点1 充分必要条件的判断例1（1）.（2019·全国高一课时练习）“x+y=3”是“x=1且y=2”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也必要条件【答案】B【解析】当x=0，y=3时，满足x+y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立，若x=1且y=2，则x+y=3成立，即必要性成立，即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件。故选B（2）.（2019·全国高一课时练习）已知，，则是的（   ）A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由已知，反之不成立，得是的充分不必要条件，所以正确选项为A.（3）.（2012·全国高二课时练习）三个数不全为零的充要条件是（　　）A．都不是零 B．中至多一个是零C．中只有一个为零 D．中至少一个不是零【答案】D【解析】主要考查充要条件的概念及其判定方法。三个数不全为零的充要条件是中至少一个不是零。选D.【变式训练1】（1）.（2019·全国高一课时练习）设集合A＝{x|x（x﹣1）＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）．【答案】充分不必要【解析】由于A＝{x|0＜x＜1}，则A⊊B，由m∈B不能推出m∈A，如x＝2时，故必要性不成立．反之，根据A⊊B，“m∈A”⇒“m∈B”．所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要（2）.（2020·全国高一课时练习）“”是“一元二次方程”有实数解的（   ）A．充分非必要条件 B．充分必要条件C．必要非充分条件 D．非充分必要条件【答案】A【解析】方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确．重难点2 充分必要条件的应用（求参数的取值范围）例2．（2019·全国高一课时练习）命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是    （   )A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，得，要使，都有成立，只需，所以正确选项为C.【变式训练1】．（2019·全国高一课时练习）已知命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】【解析】根据题意，是的必要不充分条件，则且，得当时，，满足题意；当时，，满足题意.所以，实数的取值范围是.重难点3 全称命题与存在命题真假的判断例3．在下列给出的四个命题中，为真命题的是　　A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】，若，则不成立，故错误，，当时，恒成立，故正确，，当时，不成立，故错误，，若，则不成立，故错误，故选【变式训练1】．（2019·全国高一课时练习）关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是    （   )A.是全称量词命题，假命题 B.是全称量词命题，真命题C.是存在量词命题，假命题 D.是存在量词命题，真命题【答案】A【解析】原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.【变式训练2】．（2019·全国高一课时练习）写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）：；（2）至少有一个实数，使得.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）否定是，因为，所以否定后的命题是一个真命题.（2）否定是，是假命题，如：时，.重难点4 全称命题与存在命题的否定例4．（2019·全国高一课时练习）已知命题：“，有成立”，则命题为（  ）A．，有成立 B．，有成立C．，有成立 D．，有成立【答案】B【解析】特称命题的否定是全称命题，所以，有成立的否定是，有成立，故选B.【变式训练1】．（2020·全国高一）命题“”的否定为：_______________.【答案】【解析】故答案为：.【变式训练2】．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）命题“，”的否定为________．【答案】，【解析】由题意可知，命题“，”的否定为“，”.故答案为：，.重难点5 全称命题与存在命题的应用（求参数的取值范围）例5. 若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是(  )A.                B.           C.(4,              D. [4,【答案】B【解析】因为命题“存在”的否定是“对任意”．命题的否定是真命题，则．故选B.【变式训练1】． （2020届江苏泰州中学、宜兴中学、江都中学12月联考）若命题“，使得成立”是假命题，则实数k的取值范围是（   ）A.               B.          C.(1,              D. [1,【答案】A【解析】“，使得成立”是假命题等价于“，都有恒成立”是真命题．因为，即的最小值为1，要使“恒成立”，只需，即．故答案为：．故选A.【变式训练2】．（2020山东高考模拟）若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为命题“，”是真命题，所以时，；由得，故选：A.  四、课堂定时训练（45分钟）1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（    ）A．任何一个实数乘以零都等于零    B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员   D．每一个实数都有大小【答案】C【解析】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.2．（2020·三亚华侨学校高一月考）命题，命题；则是的（    ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，所以是的充分条件；因为当时， 可能为1，也可能为1，不一定有，所以不是的必要条件，所以是的充分不必要条件，故选：C3．（2020·全国高一）“且”是“”的 （    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当且时，成立，反过来，当时，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A4．（2020·全国高一）下列四个命题中的真命题为（   ）．A． B．C． D．【答案】C【解析】对A．当时，，故A错误；对B．当时，，此时，故错误；对C．，正确；对D．当时，，故错误．故选：C．5. （多选题2020·济南市历城第二中学高一月考）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“若,则”的否定是“ 存在,则”.C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件               D．设,则“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以本选项是正确的；选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；选项D: 因为可以等于零,所以由不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.故选：ABD6．（2019·全国高一课时练习）若非空集合A、B、C满足，且B不是A的子集，则（    ）．A．“”是“”的充分条件但不是必要条件；B．“”是“”的必要条件但不是充分条件；C．“”是“”的充要条件；D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件；【答案】B【解析】由非空集合A、B、C满足，且B不是A的子集，若“”这个元素既可能来自集合，也可能来自集合，故“”“”不成立；“” “”成立，即“”是“”的必要条件但不是充分条件故选：B．7．（2020·上海高一课时练习）记全集为，“”的充要条件是“________”.【答案】A【解析】若，则若，则.因此，“”是“”的充要条件.故答案为：.8．（2020·全国高一）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；(3)存在整数x，y，使得；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.【答案】(1).真命题；(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题；(3)假命题；(4)，真命题.【解析】 (1)，是真命题；(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，；(3)假命题,因为必为偶数；(4).真命题,例如.9．（2020·全国高一课时练习）下列各题中，是的什么条件？（1）为自然数，为整数；（2）；（3）；（4）：四边形的一组对边相等，：四边形为平行四边形；（5）：四边形的对角线互相垂直，：四边形为菱形.【答案】（1）充分不必要条件；（2）必要不充分条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件；（5）必要不充分条件.【解析】为自然数,则一定为整数,即可以推出,反过来,为整数,则不一定是自然数,例如,即不能推出,故是的充分不必要条件;则不一定成立,例如,即不能推出,反过来,则一定成立，即可以推出,故是的必要不充分条件;则一定成立,即可以推出,反过来,则不一定成立,例如,即不能推出,故是的充分不必要条件;一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形,反过来,平行四边形的一组对边相等成立,即不能推出,可以推出,故是的必要不充分条件;对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,有可能为等腰梯形,反过来,菱形的对角线一定互相垂直,即不能推出,可以推出,故是的必要不充分条件;10．(2020宿迁中学月考)设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．               【解析】q是p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则BA，由x2－5ax＋4a2<0得(x－4a)(x－a)<0，因为a>0，所以A＝(a,4a)，又B＝(2,5]，则a≤2且4a>5，解得<a≤2.所以实数a的取值范围为.