专题05 函数的概念及其表示、分段函数（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题05 函数的概念及其表示、分段函数一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理【基础知识梳理】一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念 函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为；当a<0时，二次函数的值域为.求二次函数的值域时，应掌握配方法：.三、分段函数分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 三、重难点题型突破(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．例1．（2020·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.①，；②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：③，；④，.【变式训练1】（2019·广东禅城 佛山一中高一月考）（多选题）下列四个图形中可能是函数y＝f（x）图象的是（　　）A． B． C． D．
【变式训练2】下列四个图象中，是函数图象的是　　①             ②                ③               ④A．① B．①③④ C．①②③ D．③④【变式训练3】．（2012·全国高一课时练习）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（　　）A． B． C． D．(二)、求函数的定义域.1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.例2．（1）（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）下列函数中，与函数有相同定义域的是（    ）A． B． C． D．（2）（2019秋•金山区校级期末）下列各组函数中表示同一函数的是（　　）A．y＝20与y B．y＝±1与y C．y与y D．y＝x+1与y【变式训练1】求下列函数的定义域．（1）；                    （2）；（3）；                    （4）；（5）．例3．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知的定义域为，则函数的定义域为 （    ）A． B． C． D．【变式训练1】（1）已知的定义域为，，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，，求函数的定义域．（3）已知函数的定义域为，，求函数的定义域．（4）已知函数的定义域为，，求函数的定义域．
(三)、判断函数为同一（相等）函数判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．例4．（2020·江苏省响水中学高一月考）下列选项中，表示的是同一函数的是（    ）A． B．C． D．【变式训练1】.（2019·江苏姑苏 苏州中学高一期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）A．与 B．与C．与 D．与   (四)、求函数的解析式求函数解析式常用的方法1．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；2．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；4．方程组法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).例5．（2020·全国高一）设函数，满足，则（    ）A． B． C． D．【变式训练1】.（2020·河北衡水中学调研）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．     例6．（2017·全国高一课时练习）已知，则的解析式为（ 　 ）A． B．C． D．【变式训练1】．已知函数是一次函数，且恒成立，则(    )A．1 B．3C．5 D．7例7．（2020·全国高一）若函数满足，则___________．
【变式训练1】．（2020·全国高一）对的所有实数，函数满足，求的解析式．         【变式训练2】.（2019秋•武汉期末）（1）已知，求；（2）已知，求f（x）的解析式．
(五)、求函数值域求函数值域的基本方法1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.3．分离常数法：将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．8．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.例8．（2019·东台创新高级中学高三月考）函数的值域是 _____.例9．求下列函数的值域：（1）；  （2）；  （3）.      【变式训练1】．求下列函数的值域（1），，；            （2）．（3），，；                （4）．（5）         （6）        （7）．
【变式训练2】．（2020·全国高一课时练习）（多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ）A．的定义域为 B．的值域为C． D．若，则x的值是E.的解集为 (六)、分段函数求值分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．例10．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）已知，若，则______________.
例11．（2020·全国高一课时练习）已知则不等式的解集是________.【变式训练1】．（1）已知函数，若，则x=___________  （2）．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
四、课堂定时训练（45分钟）1.下列四个图象中，不是函数图象的是(　　)A　         　B　　        C　         　D2．（2020·重庆巴蜀中学高二期中）若函数满足，则的解析式是（    ）A． B．C． D．3.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）y＝3－；（2）y＝－；（3）y＝；（4）y＝－＋.   4．（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.
5．（2020·全国高一）已知的定义域为，（1）求的定义域；（2）求的定义域    6.已知，求．    7.设二次函数满足，且，求的解析式．     8．（2020·浙江省高三其他）已知函数，则________；的图象与坐标轴围成的图形的面积是________.
9．（2019·大连市普兰店区第一中学高一期末）已知函数，则______，若，则______.10．（2018·全国高一课时练习）已知f(x)=(1)若f(a)=4,且a>0,求实数a的值;(2)求f的值.      11．（2020·全国高一）已知函数.（1）求，的值；（2）求证：是定值；（3）求的值．
12．（2020·全国高一）若函数的定义域为R，则m的取值范围为多少？