专题10 函数的应用（课时训练）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

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专题10 函数的应用【基础巩固】1．函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标所在区间为(　　)A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)【答案】B【解析】函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标，即为函数f(x)=ln(x+1)-的零点.∵f(x)在区间(0，+∞)内是图象连续的，且f(1)=ln 2-1<0，f(2)=ln 3->0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2).故选B.2．函数的零点是（    ）A． B． C． D．不存在【答案】C【解析】函数的零点等价于方程的根，函数的零点是，故选：C.3．已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且当x∈[0，1]时，f(x)=x，则关于x的方程f(x)=在区间[0，4]上解的个数是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由f(x-1)=f(x+1)，可知函数f(x)的周期T=2.∵x∈[0，1]时，f(x)=x，又f(x)是偶函数，∴f(x)的图象与y=的图象如图所示.由图象可知f(x)=在区间[0，4]上解的个数是4.故选D.4．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）A．       B．       C．      D．【答案】C【解析】∵，，，∴零点的区间是．5．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　)A．(1，2)   B．(－∞，－2]C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)【答案】D【解析】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.6．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（   ）A．天             B．天             C．天    D．天【答案】B【思路导引】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果．【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天，故选：B．7．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．【答案】　【解析】若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数f(x)的图象，如图，故点(1，0)在直线y＝kx－的下方．所以k·1－＞0，解得k＞.当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，所以m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故要求的k的取值范围是．8．（2019·全国高一单元测试）某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．【答案】1.5,1.75,1.875,1.812 5【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．9．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是        ．【答案】【解析】函数在区间上有互不相同的10个零点，即函数与的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数在一个周期内的图象，可知．10．函数的零点个数是_________．【答案】2【解析】当时，令，解得；当时，，∵，∴在上单调递增，因为，，所以函数在有且只有一个零点，所以的零点个数为2．
【能力提升】11．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，为偶函数画出函数图像，如图所示：
根据图像知：当时：无解；当时：有2个根；当时：有4个根；当时：有2个根；当时：有1个根；当时：无解；有且仅有6个不等的实数根和满足： 或则满足：则满足：  综上所述：故选：12..（2020·江苏常州高级中学模拟）已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是(　　)A.1<x1<2，x1+x2<2 B.1<x1<2，x1+x2<1C.x1>1，x1+x2<2 D.x1>1，x1+x2<1【答案】A【解析】函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点，即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x2<x1)，在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图)，可知1<x1<2.当y=-b=2时，x1=2，两个函数图象只有一个交点，当y=-b<2时，由图可知x1+x2<2.13．已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．【答案】；【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．14．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】画出的图像，和如图，要有两个交点，那么15．某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知小时内供水总量为千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象.（1）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？（2）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水千吨，求的最小值，使得供水紧张现象消除.【答案】（1）4时至9时出现供水紧张现象；（2）.【解析】（1）设蓄水量为y，根据题意，，，令，，解得，则，所以一天内将在4时至9时出现供水紧张现象.（2）每小时向池内注水千吨，则，令，则，，对称轴为，因为，所以，，令，解得，所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为.【名师点睛】本题考查函数模型的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，属于中档题.16．（2020·四川南充高级中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解析】(1)由总成本p(x)＝万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2，当且仅当x＝，即x＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9 600m，∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件；当m>30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)，∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%.
【高考真题】17．（2020天津9）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根，即可，令，即与的图象有个不同交点．因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以．综上，的取值范围为，故选D．         18．(2018全国卷Ⅰ，理9)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（    ）A．      B．      C．      D．【答案】C【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C．19．（2015天津）已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A．       B．        C．         D．【答案】D【解析】由得，所以，即，，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知．20．（2014重庆）已知函数， 且在
 内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A．          B．C．          D．【答案】A【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，当直线与和都相交时；当直线与有两个交点时，由，消元得，即，化简得，当，即时直线与相切，当直线过点时，，所以，综上实数的取值范围是．