专题01 平面向量的概念及线性运算（重难点突破）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题01 平面向量的概念及线性运算一、考情分析二、考情分析知识点1　平面向量的线性运算运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)结合律：λ(μ a)＝λμ a＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ a；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb知识点2　共线向量定理、平面向量基本定理及应用1．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)． 三、题型分析(一) 关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量）例1．（多选题）下列关于平面向量的说法中不正确的是（   ）A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上C．若且，则D．若点为的重心，则【答案】BC对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.故选BC【变式训练1】（2020·河南高二月考）关于位移向量说法正确的是(     )A．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B．两个相等的向量的起点可以不同C．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D．的长度是数轴上两点到原点距离之差【答案】B【解析】A，因为一个点不能构成位移向量，位移向量需要有起点和终点，故错误.B，两个相等的向量起点可以不同，故正确.C.实数只对应一个点，构不成位移向量，故错误.D，的长度是数轴两点之间的距离，故错误.【变式训练2】（2019·浙江高二月考）下列说法正确的个数是（     ）①两个有公共终点的向量是平行向量；②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量与不共线，则与都是非零向量；④若，，则.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故③正确；，则的长度相等且方向相同；，则的长度相等且方向相同，所以的长度相等且方向相同，故，④正确.故选：B【变式训练3】（2019·成都高一期末）下列说法正确的是（     ）A．与向量共线的单位向量只有B．向量与平行，则与的方向相同或相反C．向量与向量是两平行向量D．单位向量都相等【答案】C【解析】与向量共线的单位向量有，故A项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误.因为向量与方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D项错误.故选：C(二) 平行向量与共线向量例2．（2020·浙江高一月考）在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设，，则＝________．(用，表示)【答案】＋【解析】 【变式训练1】．已知不共线的非零向量，若与平行，则实数的值为__________．【答案】-4.【解析】因为与平行，所以所以，解得：【变式训练2】．已知，，若，，且AD与BC交于E点，则=___________.(用、表示) 【答案】【解析】因为,三点共线,所以存在实数m使得;
又三点共线, 所以存在实数n使得,解得，所以，故填：.:【变式训练3】．【2015·天津，14，中】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．【答案】　【解析】　如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，则AM＝BN＝，∴CD＝MN＝1.∴·＝(＋)·(＋＋)＝2＋·＋·＋·＋·＋·＝4－1－2－λ＋λ＋λ·＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即λ＝时等号成立，此时·有最小值.例3．（2020·北京高考模拟）已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）.（1）若是的中点，求的值；（2）若、、三点共线，求证：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】（1）由题意,,又,故,即.（2）、、三点共线，设,则,又,故,即.【变式训练1】．已知，不共线，若，试确定的值．【答案】【解析】∵不共线；∴；又；∴存在实数，使；即，解得.【变式训练2】．已知、是两个不平行的向量，，，，试判断、、的位置关系，并证明你的结论.【答案】、、三点在一条直线上.【解析】由已知得，又因为，所以，所以又，所以、、三点在一条直线上.故得解.得解得所以.(三) 向量的线性运算（三角形法则与平行四边行法则）例4．（1）（多选题）设P是所在平面内的一点，则（    ）A． B．C． D．【答案】CD由题意：故 即,故选：CD（2）.（2019·湖北高三月考（文））在中，是的中点，则(  )A． B．C． D．【答案】D【解析】在中，为边上的中线，为的中点，所以，故选D.【变式训练1】．（2020·广东高三学业考试）如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（      ）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于，，故错误；对于，，故错误；对于，，故错误.故选D【变式训练2】．已知分别是的边的中点，且 给出下列等式：①②③④其中正确的等式是______（请将正确等式的序号填在横线上）．（6分）【答案】①②④【解析】由题意，如图所示，因为，且①中，，所以是正确的；②中，由三角形法则，可得，所以是正确的；③中，因为是边的中点，则，所以不正确；④中，由三角形法则，可得，所以是正确的，综上可知，正确命题的序号为①②④.(四) 向量的数乘与几何意义例5．（2019·贵州凯里一中高二期中）已知是正方形的中心，则________.【答案】【解析】由正方形的性质和向量的加法法则和减法法则得：故填：. 【变式训练1】．若O是所在平面内一点，D为边的中点，且，那么（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，D为的中点，.故选C.【变式训练2】．（2020·上海中学高二期中）已知，，若，，且AD与BC交于E点，则=___________.(用、表示) （6分）【答案】【解析】因为,三点共线,所以存在实数m使得;
又三点共线, 所以存在实数n使得,解得，所以，故填：.:【变式训练3】．（2020·河南高考模拟（文））在矩形中，，，则__________.（6分）【答案】【解析】在矩形中.，|.故答案为：.