专题06 空间点、线与面的位置关系（课时训练）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

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专题01 空间点、线、面的位置关系
A组 基础巩固
1．（2021·安徽高三二模（文））若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【分析】
对于AB D，根据给定的条件可得与结论不相符合的情形，对于C，利用线面平行的性质定理和判定定理可证其正确性，从而可得正确的选项．
【详解】
对于A，若，，，则与可能平行，或相交或在内，故A错．
对于B，若，，，则也可能成立，故B错误．
对于C，若，，，如图：

过作平面，使得，过作平面，使得，
因为，，所以，同理，故，
而，，故，，，故，故，故C正确．
对于D，若，，，则，故D错误．
故选：C．
2．（2021·江苏高一课时练习）给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，若这三条直线都是平行线，则这条直线和这个平面不一定垂直，故①错误；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这个角必为直角，故这条直线和这个平面垂直，故②正确；
③若一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；满足直线与平面垂直的定义，故③正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，空间中直线与平面之间的位置关系的应用，考查逻辑推理能力．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3．（2021·江苏高一课时练习）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（ ）
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
【答案】C
【分析】
在A中，与β相交或相行；在B中，与不一定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得.
【详解】
在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则与β相交或相行，故A错误；
在B中，m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则与不一定垂直，故B错误；
在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，由面面平行的判定定理得，故D错误.
故选：C
4．（2021·江苏高一课时练习）已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
【答案】D
【分析】
根据两平面平行的性质即可得出答案.
【详解】
若α//β，则内的直线与内的直线没有交点，
所以当m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是平行或异面.
故选：D

5．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））设有下列四个命题：
：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．
：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合．
：若三个平面两两相交，则交线互相平行．
：若直线平面，直线直线，则直线平面．
则下述命题中所有真命题的序号是______．
① ② ③ ④
【答案】②④
【分析】
在正方体中可通过反例知为假命题，通过线线关系确定为真命题，由不共线的三点确定唯一的平面知为真命题，由复合命题真假性的判定依次判断各个选项即可.
【详解】

在如图所示的正方体中，
直线共点，此时三条直线不在同一平面内，为真命题；
平面、和两两相交，但交线不互相平行，为假命题；
设直线为直线，平面为平面，则；设直线为直线，此时，且，为假命题；
不共线的三点确定唯一的一个平面，若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合，即为真命题；
为假命题，①错误；为真命题，②正确；为假命题，③错误； 为真命题，④正确.
故答案为：②④
【点睛】
结论点睛：本题考查复合命题真假性的确定，需熟记“且”、“或”、“非”命题真假性的判断方法：
①“且”命题：一假全假；②“或”命题：一真全真；③“非”命题：与原命题真假性相反.
6．（2021·浙江高二期末）如图，点E是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的有__________．
①直线与直线始终是异面直线
②存在点，使得
③四面体的体积为定值
④当时，平面平面

【答案】②③④.
【分析】
取点为线段的中点可判断①，建立空间直角坐标系假设存在点，使得，利用解出的值即可判断②；连接、交于点，证明，线段到平面的距离为定值，可判断③；求出点的坐标，然后计算平面和平面的法向量，即可判断④.
【详解】

对于①：连接交于点，当点在点时直线与直线相交，故①不正确，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，，，，，
对于②：，假设存在点，使得，，，
所以，解得，所以当时，
故②正确；
对于③：连接、交于点，因为点E是棱的中点，此时，故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故③正确；
对于④：当时，，，，设平面的法向量为，由 令，可得，，可得，设平面的法向量为，，由解得:，令 可得，所以，因为，
所以平面平面，故④正确；
故答案为：②③④.
【点睛】
方法点睛：证明面面垂直的方法
（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；
（2）利用性质：（客观题常用）；
（3）面面垂直的定义（不常用）；
（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于.
7．（2021·贵州遵义市·高二期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，现有如下四个结论：

①延长线段和必相交于一点；
②；
③平面平面；
④三棱锥的体积为定值.
其中正确结论的序号是___________.
【答案】②③④
【分析】
用反证法证明①错误，利用线面垂直的判定定理和性质定理证明②正确，利用面面平行的判定定理证明③正确，利用体积公式计算三棱锥的体积即求得④正确.
【详解】
延长线段和，假设相交于一点，则与共面于平面ABFE，则与共面，则与平行或相交，但是正方体上底面与下底面平行，故与无公共点，又，与不平行，故假设矛盾，线段和异面，不会相交于于一点，①错误；
易见，正方体中，，，与相交，且在平面内，故平面，而平面，故，②正确；

平面，即平面，正方体中，与平行且相等，故四边形是平行四边形，故，故平面，
同理，与平行且相等，则，故平面，
与相交，且在平面内，故平面平面，
即平面平面，③正确；
三棱锥的体积，
由平面，知，
中，B到EF的距离为棱长，故，
，故体积是定值，④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】
方法点睛：体积与面积是立体几何中一个重要内容，是高考必考内容之一，求体积的一般方法有：
1．直接法：对规则几何体（如柱、锥、台、球），直接利用体积公式计算；
2．割补法：对一些不规则的几何体，常通过分割或补形的手段将此几何体变成一个或几个的、体积易求的几何体，然后再进行计算．
8．（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高一期末）在正方体中，直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】
【分析】
连接，在正方体中,，所以（或其补角）为异面直线与所成角，在中求解即可.
【详解】
连接
在正方体中,且
所以四边形为平行四边形，则
所以（或其补角）为异面直线与所成角
在正方体中，
所以为等边三角形,所以
所以直线与所成角的余弦值为
故答案为：

9．（2021·宁夏固原市·高三期末（文））设为两条直线，若直线平面，直线平面，下列说法正确的是 ___________。
① 若//，则 ②若，则
③ 若，则 ④若，则//
【答案】①③
【分析】
运用面面平行的性质、平行线的性质，结合面面垂直的判定定理进行判断即可.
【详解】
①：因为//，平面，所以平面，又因为平面，所以，故本说法正确；
②：因为平面，所以设，当时，且，显然可以满足，但是不成立，故本说法不正确；
③：因为，平面，所以平面，而平面，所以，故本说法正确；
④：当时，因为平面，所以，但是此时//不成立，故本说法不正确.
故答案为：①③
10．（2021·全国高三专题练习（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
【答案】①③④
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】
对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】
本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.


B组 能力提升
11．（2020·全国高三专题练习（文））如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述：

①平面；
②四点、、、可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.
【答案】①③
【分析】
连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：

则且，四边形是矩形，且，为的中点，
为的中点，且，且，
四边形为平行四边形，，即，
平面，平面，平面，命题①正确；
对于命题②，，平面，平面，平面，
若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，
则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾.
所以，命题②错误；
对于命题③，连接、，设，则，

在中，，，则为等腰直角三角形，
且，，，且，
由余弦定理得，，
，又，，平面，
平面，，
，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，
平面，平面平面，命题③正确；
对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，，
，，，，，
又，平面，平面，.
，平面，平面，.
，，显然与不垂直，命题④错误.
故答案为：①③.

【点睛】
本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.
12．（2020·安徽滁州市·高二月考（文））如图，在正方体中，有下列结论：

①平面；②平面；
③与底面所成角的正切值是；
④与为异面直线.
其中正确结论的序号是______.（把你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】②③④
【分析】
利用线面平行和线面垂直的判定定理，及直线与平面所成角的定义，分别对每项作出判断，即可得到本题答案.
【详解】
①因为平面，所以与平面不平行，故①错误；
②连接，易证.
因为，所以平面，故②正确；
③因为底面，所以是与底面所成的角，所以，故③正确；
④与既无交点也不平行，所以与为异面直线，故④正确.
故答案为：②③④.
13．（2021·全国高三专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别是正方形和正方形的中心，为线段上的点（异于，），则和所成的角的大小是_______，三棱锥的体积为_________.

【答案】
【分析】
将异面直线平移到同一个平面内即可求出和所成的角，利用线面平行得到三棱锥的高，再利用椎体的体积公式即可求得.
【详解】
解：如图所示：连接，，

又，分别为， 的中点，
，
又，
就是和所成的角，
又平面，
平面，
，
即 ，
和所成的角的大小是；
如图：连接，，
，
平面，
平面，
平面，
到平面的距离就等于到平面的距离，
又正方体的棱长为，到平面的距离为，
即三棱锥的高为 ，
为等边三角形，
，
.
故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
14．（2021·浙江高一单元测试）下列四个正方体图形中，､为正方体的两个顶点，､､分别为其所在棱的中点，能得出与是异面直线的序号是______；能得出面的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号①②③④).

【答案】①②④ ①③
【分析】
根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合异面直线的定义，线面平行的判定定理一一判断即可.
【详解】
对于图①，取的中点为，连接，因为在平面中，且与平行，
由线面平行的判定定理可知，面，又与相交，
则与是异面直线；

对于图②，连接且相交于点，连接，
由中位线定理得，由于与平面相交，
则与平面不平行，由图可知，显然与是异面直线；

对于图③，易知，则与不是异面直线，
由线面平行的判定定理可知面；

对于图④，取的中点为，连接，易知，
且与平面相交于点，则与平面不平行，
由于与相交，则与是异面直线；

综上可得，能得出与是异面直线的序号是①②④；
能得出面的图形的序号是①③
故答案为：①②④；①③
【点睛】
本题主要考查了异面直线的判定以及判断图形中的线面关系，属于中档题.
15．（2019·广东佛山市·高二月考）如图是一个正方体的表面展开图，，，均为棱中点，是顶点，则在正方体中，直线和的位置关系为________（填“平行”，“异面”或“相交”），直线和的夹角的余弦值为_________ ．

【答案】异面
【分析】
还原正方体即可判断直线和的位置关系为异面，连接，可知即为和的夹角，求出长度，利用余弦定理即可求出夹角余弦值.
【详解】

如图，还原正方体，可知与是异面直线，
连接，
在正方体中，，
四边形是平行四边形，，
中，是中点，，
，即为和的夹角，
设正方体棱长为2，
则，
.
故答案为：异面；.
【点睛】
本题考查直线位置关系的判断，考查异面直线所成角的求解，属于基础题.
16．（2020·寻甸回族彝族自治县民族中学高一月考）如图所示，已知正方体中，分别为，的中点，，.求证：

（1）四点共面；
（2）若交平面于R点，则三点共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由中位线定理可知，故四点共面（2）是平面与平面的交线，可证是两平面公共点，故过R，得证.
【详解】
证明：（1）是的中位线，
.
在正方体中，，
.
确定一个平面，即四点共面.
（2）正方体中，设确定的平面为，
又设平面为.
.
又，，
则Q是与的公共点，
.
又.
，且，
则，故三点共线.
【点睛】
本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.
17．（2020·全国高三专题练习）已知正方体，分别为和上的点，且，.

（1）求证：；
（2）求证：三条直线交于一点.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）连结和，由条件可证得和，从而得到∥.（2）结合题意可得直线和必相交，根据线面关系再证明该交点在直线上即可得到结论．
【详解】
证明：(1)如图，连结和，

在正方体中，，
∵，
∴，
又，，
∴．
又在正方体中，，,
∴，
又，
∴．
同理可得，
又，
∴．
∴∥.
（2）由题意可得（或者和不平行），
又由(1)知∥，
所以直线和必相交，不妨设，
则，
又，
所以，
同理．
因为，
所以，
所以、、三条直线交于一点．
【点睛】
（1）证明两直线平行时，可根据三种平行间的转化关系进行证明，也可利用线面垂直的性质进行证明，解题时要注意合理选择方法进行求解．
（2）证明三线共点的方法是：先证明其中的两条直线相交，再证明该交点在第三条直线上．解题时要依据空间中的线面关系及三个公理，并结合图形进行求解．
18．（2019·佛山市第二中学高二月考）在正方体中，、分别是、的中点，

（1）证明点、、、共面
（2）证明、、三线交于一点
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）通过证明，证得四点共面.
（2）根据公理，证得、、三线交于一点.
【详解】
（1）连接，根据正方体的几何性质可知.由于分别是的中点，所以，所以，所以四点共面.
（2）由于，所以与延长后必相交，设交点为，由于平面，平面，根据公理3可知，在平面与平面的交线上，所以、、三线交于一点

【点睛】
本小题主要考查四点共面的证明，考查三线共点的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
19．（2021·全国高一课时练习）如图，正方体中，，分别是，的中点．求证：
（1），，，四点共面；
（2），，三线共点．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由三角形中位线定理和平行公式，得到，再由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．
（2）分别延长，，交于点，由，面，知面．再由三角形中位线定理证明，，三线共点于．
【详解】
证明：（1）连接，，，
，分别是，的中点，
，，
，
由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．
（2）分别延长，，交于点，
，面，
面．
是的中点，，
是的中点，
连接，，
，
，，三线共点于．

【点睛】
本题考查四点共面和三点共线的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意平行公理和三角形中位线定理的合理运用，属于中档题．
20．（2020·安徽省太和第一中学高二开学考试）和 的中点，求：

（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求异面直线所成的角，关键是要作出这个角，（1）由，，知就是要求的角；（2）延长 到G，使A1G=D1A1，可证就是所求的角（或补角）．
【详解】
解：AD1==a=BC1
A1B==a
A1C1==2a
∴cos∠A1BC1==
∴sin∠A1BC1=
（2）延长D1A1到G使A1G=D1A1,则AG∥DA1∥CB1．所求角为AG与AC1的夹角．
AG=B1C=a
AC1==3a
GC1=a
cos∠GAC1=
∴AC1与B1C所成角的余弦值为．