专题06 空间点、线与面的位置关系（重难点突破）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题01 空间点、线、面的位置关系
一、考情分析

二、考点梳理
一、平面
1．平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是_______________的，一个平面可以将空间分成_______________部分．
2．平面的画法
在立体几何中，我们通常用_______________来表示平面．
（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成_______________，且横边长等于其邻边长的 _______________倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．

3．平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的_______________的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．

4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示，_______________为元素，直线、平面都是点构成的_______________．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：
点P在直线a上，记作P_______________a；点Q不在直线a上，记作Qa；
点A在平面α内，记作Aα；点B不在平面α内，记作B_______________α；
直线a在平面α内，记作a_______________α；直线l不在平面α内，记作lα；
直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l．
二、平面的基本性质
1．三个公理
（1）公理1：如果一条直线上的_______________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：

作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
（2）公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：

作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
（3）公理3：如果两个不重合的平面有_______________公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________．
符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：

作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
【名师提醒】
（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．
（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．
（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．
2．公理2的三个推论
（1）推论1：经过一条直线和_______________的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：

（2）推论2：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

（3）推论3：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

三、空间两直线的位置关系
1．异面直线
（1）异面直线的定义：我们把不同在_______________的两条直线叫做异面直线． 即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα．
（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图：

2．空间两直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面．
（1）_______________——同一平面内，有且只有一个公共点；
（2）_______________——同一平面内，没有公共点；
（3）_______________——不同在任何一个平面内，没有公共点．
3． 空间中两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：

（2）从是否共面的角度分类：

四、公理4与等角定理
1．公理4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相_______________．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c_______________．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_______________．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．

图（1） 图（2）
五、异面直线所成的角
1．两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为_______________．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是_______________，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．
4．构造异面直线所成角的方法
（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；
（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；
（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．
5．求两条异面直线所成的角的步骤
（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；
（2）证明：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
六、空间中直线与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有_______________种：
①直线在平面内——有_______________个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③_______________——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为_______________．
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

3．直线和平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类：
；
（2）按是否平行分类：
；
（3）按直线是否在平面内分类：
．
七、平面与平面之间的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有_______________条公共直线．
2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示

3．两个平行平面的画法
画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．

三、题型分析
(一) 空间直线的位置关系
例1．（西藏拉萨中学2019-2020学年高一上学期期末）如图，正方体中，直线与所成角大小为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

连接如图就是与所成角或其补角，
在正方体中， ， 故直线与所成角为.故选C.
【变式训练1-1】．（2019•新课标Ⅲ，理8文8）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则　　

A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是相交直线
C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是异面直线
【答案】B
【解析】点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，平面，平面，是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，，，，故选．

【变式训练1-2】．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】D
【解析】由题得,所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.
由题得,,
因为,所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.故选:D
【变式训练1-3】．（2021·全国高三专题练习（文））如图，三棱锥中，，，且，，，是中点，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取的中点，的中点，连接、、，则异面直线与所成角的平面角为，然后利用题目所给数据计算出，，，然后利用余弦定理求解出的余弦值大小，得到异面直线与所成角的余弦值大小.
【详解】
取的中点，的中点，连接、、，则，
∵，∴是的中点，
又∵是的中点，
∴，
∴为异面直线与所成的角或其补角，
∵，，且，Ü面，所以面,
又∵，，
∴在中，，
在中，，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.

【变式训练1-4】．（2021·全国高三专题练习（文））已知M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列是假命题的是（ ）
A．过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交
B．过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直
C．过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交
D．过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行
【答案】C
【分析】
根据题意作出图形，取的中点，设与交于，则点A、B、M、N、H共面，直线必与直线相交于某点，根据线线关系和线面关系逐一判断即可.
【详解】
直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：

取的中点，则，且，
设与交于，则点A、B、M、N、H共面，
直线必与直线相交于某点，
过M点有且只有一条直线HO与直线AB、都相交，故A正确；
过M点有且只有一条直线与直线AB、都垂直，此垂线就是棱，故B正确；
凡是过的面均和AB、都相交，即过M点有无数个平面与直线AB、都相交， 故C不正确；
过M点有且只有一个平面与直线AB、都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．
故选：C.
(二) 空间直线的平行问题
例2．（2019•新课标Ⅱ，理7文7）设，为两个平面，则的充要条件是　　
A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于，内有无数条直线与平行，或；
对于，内有两条相交直线与平行，；
对于，，平行于同一条直线，或；
对于，，垂直于同一平面，或．故选．
【变式训练2-1】．（2017•新课标Ⅰ，文6）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是　　
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；所以选项满足题意，故选．
【变式训练2-2】．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B，D两点的距离为________.
【答案】1.
【解析】取AC的中点E，连结DE，BE，显然DE⊥AC，因为平面ACD⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，
所以DE⊥BE，而，所以，.

【变式训练2-3】（2021·浙江高三其他模拟）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，，则直线与一定平行
B．若，，，则直线与可能相交、平行或异面
C．若，，则直线与一定垂直
D．若，，，则直线与一定平行
【答案】C
【分析】
根据线面、面面的判定定理及性质定理一一判断即可；
【详解】
解：对于A，，可能平行、异面、相交，故A错误；
对于B，若，，，则直线与不可能平行，故B错误；
对于C，根据线面垂直、线面平行的性质可知直线与一定垂直，故C正确；
对于D，若，，，则直线与可能平行，也可能异面，故D错误．
故选：C
【变式训练2-4】（2021·浙江高三期末）已知、是不同的直线，、是不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
利用面面垂直的性质、判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
充分性：若，设，存在直线，使得，
由面面垂直的性质定理可得，，则，从而可得或，
则与的位置关系不确定，充分性不成立；
必要性：，，则，，，必要性成立.
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：
（1）定义法；
（2）集合法；
（3）转化法.
(三) 空间直线的垂直问题
例3．（2017•新课标Ⅲ，文10）在正方体中，为棱的中点，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连，由题意得，平面，且平面，
，，平面，平面，，
故选．
【变式训练3-1】．（2013新课标Ⅱ，理4）已知，为异面直线，⊥平面，⊥平面，直线满足⊥，⊥，，，则（ ）．
A．∥且∥ B．⊥且⊥
C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】若∥，又⊥平面，则⊥平面，又∵⊥平面，∴∥，与与异面矛盾，故A错；
若⊥，∵⊥平面，∴∥，与⊥矛盾；
若与相交，设交线为，过上一点作直线∥，设与确定的平面为，∵⊥，∴⊥，∵⊥，∴⊥，又⊥平面，⊥平面，∴⊥， ⊥，∴⊥，∴⊥，则∥，故选D．
【变式训练3-2】．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是（ ）．
A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
【答案】D
【解析】利用正方体模型可以看出，与的位置关系不确定．选D．
【变式训练3-3】．（2020·长沙市·湖南师大附中高二月考）在下列四个正方体中，能得出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由线面垂直的性质可判断A，根据异面直线所成角的计算可判断BCD.
【详解】
对A，如图，连接，则在正方体中，，又平面，平面，则，，平面，平面，，故A正确；

对B，如图，连接，易得，则为异面直线所成角，，故不垂直，故B错误；

对C，如图，，则为异面直线所成角，易得，故不垂直，故C错误；

对D，如图，，则为异面直线所成角，显然，故不垂直，故D错误.

故选：A.
【变式训练3-4】．（2021·湖北高二月考）已知m，n为两条不同的直线，和是两个不同的平面，下列为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
ABD项均可举出反例，C项可用线面垂直的判定定理说明
【详解】
A. ，则也可在平面内，故选项A不正确.
B. ，则也可在平面内, 故选项B不正确.
C. 成立
两平行线，平面，必垂直于内的两条相交直线，
则必定垂直于内那两条相交直线，故, 故C正确.
D. ，则也可是异面直线的关系. 故选项D不正确.
故选：C
(四) 空间直线与平面的综合问题
例4．（2014浙江）设是两条不同的直线，是两个不同的平面（ ）．
A．若，，则 B．若，则
C．若则 D．若，，，则
【答案】C
【解析】选项中均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选．
【变式训练4-1】．（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）．
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】对于选项A，若，则与可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若，，则或，C错误；对于选项D，若，，则或或与相交，D错误．故选B．
【变式训练4-2】．（2013广东）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若,,,则 B．若,,,则
C．若,,,则 D．若,,,则
【答案】D
【解析】A中可能平行、垂直、也可能为异面；B中还可能为异面；C中 应与中两条相交直线垂直时结论才成立，选D．
【变式训练4-3】．（2012浙江）设是直线，是两个不同的平面（ ）
A．若∥，∥，则∥ B．若∥，⊥，则⊥
C．若⊥，⊥，则⊥ D．若⊥, ∥，则⊥
【答案】B
【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵∥，⊥，则．如选项A：
∥，∥时，⊥或∥；选项C：若⊥，⊥，∥或；
选项D：若⊥, ⊥，∥或⊥．
【变式训练4-4】．（2021·全国高三月考（理））若为空间三条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若则
【答案】B
【分析】
根据空间直线、平面间的位置关系判断．
【详解】
时，的位置关系是相交，平行或者异面，A错；
，则内存在直线，使得（过的平面与交线为），又，因此，从而正确；
若则可能相交，可能平行，C错；
若，则可能相交也可能平行，D错．
故选：B．
【变式训练4-5】．（2016·上海高二学业考试）设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（ ）
A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面
C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直
【答案】C
【分析】
根据线面的位置关系可选答案.
【详解】
若直线l与平面平行，直线m在平面上，
则直线l平行于直线m或直线l与直线m异面，所以直线l与直线m没有公共点
故选：C
【变式训练4-6】．（2021·浙江高二期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个判断可得答案.
【详解】
对于A，或与相交但不垂直或，故A不正确；
对于B，因为，过作平面交平面于，所以，由，可得，所以，所以，故B正确；

对于C，或、相交且垂直或、相交但不垂直或、异面且垂直或、异面但不垂直，故C不正确；
对于D，或或与相交但不垂直或.
故选：B