专题10 统计案例（课时训练）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

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专题10 统计案例
A组 基础巩固
1．（2020·全国高三专题练习）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70

根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为
A．75万元 B．85万元
C．99万元 D．105万元
【答案】B
【解析】
分析：根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当的函数值即可．
详解：由题意得，
∴样本中心为．
∵回归直线过样本中心，
∴，解得，
∴回归直线方程为．
当时，，
故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．
故选B．
点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题．
2． （2021·浙江杭州市·高二课时练习）通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：



男

女

总计

爱好

40

20

60

不爱好

20

30

50

总计

60

50

110


由
附表：


0．050

0．010

0．001



3．841

6．635

10．828


参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【详解】
由，而，故由独立性检验的意义可知选A
3．（2020·甘肃张掖市第二中学高三月考（理））如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率．已知该年级男生女生各500名（所有学生都参加了调查），现从所有喜欢数学的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为

A．16 B．32 C．24 D．8
【答案】C
【分析】
根据等高条形图可得到喜欢数学的女生和男生的比为1:3，再由分层抽样计算出抽取的男生人数．
【详解】
由等高条形图可知：喜欢数学的女生和男生的比为1:3，所以抽取的男生数为24人．故选C．
【点睛】
本题考查高条形图与分层抽样，需掌握等高条形图的性质与分层抽样方法，属于基础题．
4．（2021·全国高三专题练习（文））在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是

A． B．
C． D．（）
【答案】B
【分析】
根据散点图的趋势，选定正确的选项.
【详解】
散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B．
【点睛】
本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题.
5．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码分别对应年月年月）

根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：






注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法不一定成立的是（ ）
A．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系
B．根据可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米
C．曲线与的图形经过点
D．回归曲线的拟合效果好于的拟合效果
【答案】C
【分析】
根据散点图的分布可判断A选项的正误；将代入回归方程可判断B选项的正误；根据非线性回归曲线不一定经过可判断C选项的正误；根据回归模型的拟合效果与的大小关系可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系，故A正确；
对于B，令，由，
所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米，故B正确；
对于C，非线性回归曲线不一定经过，故C错误；
对于D，越大，拟合效果越好，故D正确.
故选：C.
6．（2020·全国高二课时练习）某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:

0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
得到正确结论是
A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
【答案】B
【分析】
通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.
【详解】
解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.
【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.
7．（2021·全国高二课时练习）对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（ ）
A．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
C．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
D．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
【答案】C
【分析】
根据相关系数的符号决定两个变量的正相关、负相关，以及相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，进而可得出结论.
【详解】
由线性相关系数知与正相关，
由线性相关系数知与负相关，
又，所以，变量与的线性相关性比与的线性相关性强，
故选：C.
8．（多选题）（2021·广东深圳市·深圳外国语学校高三月考）针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）
附表：

0.050
0.010

3.841
6.635
附：
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
设男生的人数为，列出列联表，计算出的观测值，结合题中条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出男生人数的可能值.
【详解】
设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：

男生
女生
合计
喜欢抖音



不喜欢抖音



合计



则，
由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，
即，得，
，则的可能取值有、、、，
因此，调查人数中男生人数的可能值为或.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：解题关键在于，利用独立性检验求出人数的可能取值，在解题时，关键是要列举出列联表，并结合临界值表列不等式求解，主要考查学生的计算能力，属于中等题.

9．（2021·全国高三专题练习）下列说法：
①线性回归方程必过；
②命题“”的否定是“”
③相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；
④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系；
其中正确的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上）
本题可参考独立性检验临界值表：

【答案】①④
【详解】
分析：根据性回归方程，独立性检验，相关关系，以及命题的否定等知识，选出正确的，得到结果．
详解：线性回归方程必过样本中心点，故①正确．
命题“”的否定是“” 故②错误
③相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；
④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系，正确.
故答案为①④.
点睛：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、独立性检验、回归直线方程等知识点，属于中档题．
10．（2020·四川遂宁市·射洪中学高二月考（理））已知，取值如表：












画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________．
【答案】
【详解】
分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．
详解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，
=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，
∴这组数据的样本中心点是（3，），
又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，
∴=1×3+1，
解得m=.
故填.
点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．
11．（2021·全国高二课时练习）某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：
使用年限（单位：年）





维修费用（单位：万元）





根据上表可得回归直线方程为，据此模型预测，若使用年限为年，估计维修费约为__________万元．
【答案】
【详解】
，
则中心点为，代入回归直线方程可得，.
当时，（万元），
即估计使用14年时，维修费用是18万元.
故答案为：18.
12．（2021·浙江杭州市·高二课时练习）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过______．
附：

0.05
0.025
0.010
0.001

3.841
5.024
6.635
10.828

【答案】0.025
【分析】
根据列联表计算，再根据临界值参考数据比较大小即可得出结论．
【详解】

集中培训
分散培训
合计
一次考过
45
30
75
一次未考过
10
20
30
合计
55
50
105
，
故答案为：0.025．



B组 能力提升
13．（2021·全国高三专题练习（文））某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过
第一种生产方式


第二种生产方式


（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，









【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析
（2）80
（3）能
【详解】
分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．
（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．
（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．
详解：（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知.
列联表如下：

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．
14．（2019·陕西高考模拟（文））已知某种细菌的适宜生长温度为10℃～25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：
温度/℃
12
14
16
18
20
22
24
繁殖数量/个
20
25
33
27
51
112
194

对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：







18
66
3.8
112
4.3
1428
20.5

其中，.

（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）；
（3）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，.
参考数据：.
【答案】(1) 更适合作为关于的回归方程.(2) .(3)245.
【分析】
（1）画出关于的散点图，即可作出判定，得到结论.
（2）由（1）因为，得，利用公式求得和的值，即可求得回归方程；
（3）令，求得，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意，关于的散点图如下图所示.

更适合作为关于的回归方程.
（2）由（1）因为，则，
∴，
∴，
∴关于的回归方程为.
（3）由（2）中的回归方程，令，求得，
所以当温度为时，预报值为.
【点睛】
本题主要考查了数据的散点图的应用，回归方程的求解及应用，其中解答中正确理解题意，合理利用散点图作出判断，准确利用公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
15．（2021·全国高二课时练习）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，
，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【详解】
试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程，然后预测．
试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
，，，
，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．
【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．
16．（2021·全国高三专题练习（理））《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
月份





违章驾驶员人数





（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式： ,参考数据：.
【答案】（1）；（2）49.
【分析】
（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；
（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
【详解】
（1）由表中数据知， ，
∴,，
∴所求回归直线方程为.
（2）令，则人.
【点睛】
本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．（2021·全国高三专题练习（文））足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份x
2014
2015
2016
2017
2018
足球特色学校y（百个）
0.30
0.60
1.00
1.40
1.70
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.
（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较）：
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.
参考公式和数据：，
，
.
【答案】（1） ，y与x线性相关性很强
（2），244
【分析】
（1）根据题意计算出r，再比较即得解；（2）根据已知求出线性回归方程，再令x=2020即得解.
【详解】
（1）由题得
所以，
y与x线性相关性很强.
（2）

，
，
关于的线性回归方程是.
当时，，
即该地区2020年足球特色学校有244个.
【点睛】
本题主要考查相关系数的应用，考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．（2021·全国高三专题练习）某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量（单位：万件）的统计表：
月份代码
1
2
3
4
5
6
7
销售量（万件）







但其中数据污损不清，经查证，，.
（1）请用相关系数说明销售量与月份代码有很强的线性相关关系；
（2）求关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）公司经营期间的广告宣传费（单位：万元）（），每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）
参考公式及数据：，相关系数，当时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)见解析；(2) (3)见解析
【分析】
(1)根据中条件，计算相关系数的值，即可得出结论；
（2）根据题中数据，计算出，即可得到回归方程；
（3）将代入（2）的结果，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】
(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
， ， ，

∴， 因为
所以销售量与月份代码有很强的线性相关关系.
(2) 由及(Ⅰ)得

所以关于的回归方程为
（3）当时，代入回归方程得（万件）
第8个月的毛利润为
，预测第8个月的毛利润不能突破万元.
【点睛】
本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求，以及线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.