专题11 随机事件的概率与事件的相互独立性（课时训练）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

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专题11 随机事件的概率与事件的相互独立性
A组 基础巩固
一、单选题
1．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
【答案】C
【分析】
根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
【详解】
由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选：C.
2．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有种结果，满足条件的事件是点数之和是7，可以列举出所有的事件，共有6种结果，得到概率．
【详解】
解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有种结果，
满足条件的事件是点数之和是7，可以列举出所有的事件
，，，，，，，共有6种结果，
根据古典概型概率公式得到.
故选：C．
3．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为（ ）
A．“都是红球”与“至少1个红球”
B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”
C．“至少1个白球”与“至多1个红球”
D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”
【答案】D
【分析】
分析每个选项中的两个事件是否有共同的基本事件判断并作答.
【详解】
对于A选项：“至少1个红球”的事件中含有“都是红球”这一事件，即两个事件可以同时发生，A中的两个事件不互斥；
对于B选项：“恰有2个红球”和“至少1个白球”的事件中都含有“两红球，一白球”的事件，B中的两个事件不互斥；
对于C选项：“至少1个白球”与“至多1个红球”的事件中都含有“三白球”与“一红球，两白球”的两个事件，C中的两个事件不互斥；
对于D选项，3个球中“2个红球，1个白球”的事件与“2个白球，1个红球”的事件不可能同时发生，是互斥事件，
所以两个事件是互斥事件的为D.
故选：D
4．某部三册的小说，任意排放在书架上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据全排列求出总事件的种数，再找出满足条件的种数，结合概率公式即可.
【详解】
所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以p＝.
.故选B．
5．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2．小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先列出所以可能的基本事件，再利用古典概型概率公式计算可得；
【详解】
解：抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1，2)，(2，1)两种，故所求概率为．
故选：A
6．京剧脸谱，是一种具有中国文化特色的特殊化妆方法.由于每个历史人物或某一种类型的人物都有一种大概的谱式，就像唱歌､奏乐都要按照乐谱一样，所以称为“脸谱”.脸谱的主要特点有三点：美与丑的矛盾统一，与角色的性格关系密切，其图案是程式化的.在京剧中，并不是每个人物都要勾画脸谱，脸谱的勾画要按照人物角色的分类来进行.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种，其中“净”和“丑”需要画脸谱，“生”“旦”只略施脂粉，俗称“素面”.现有男生甲､乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动，其中女生丙想扮旦角，男生甲想体验画脸谱的角色，若三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个，则甲､丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先求出总数，由于独立的选择互不影响，故共有种结果，再分甲如愿和甲不如愿乙如愿两种情况进行讨论，即可得解.
【详解】
三人选角的不同结果共种，
若甲如愿，则已满足题意，故乙､丙可随机选择，
此种情况包含甲丙都如愿，此时共种；
若甲未如愿，则丙必选旦角，则甲选生角或旦角，乙只能选净角或丑角，共种；
所求概率为，
故选：B.
7．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6，7，8，9中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设的运算方法，分别确定6，7，8，9四个数的运算次数，应用古典概型的概率求法求任取2个数至少有1个数的运算次数为奇数的概率即可.
【详解】
1、正整数6的运算过程为6→3→10→5→16→8→4→2→1，运算次数为8；
2、正整数7的部分运算过程为7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10，当此运算次数为10，结合正整数6的运算过程知：正整数7总的运算次数为；
3、正整数8的运算次数为3；
4、正整数9的部分运算过程为9→28→14→7，当此运算次数为3，结合正整数7的运算过程知：正整数9总的运算次数为.
∴6，7，8，9的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数，从6，7，8，9中任取2个数，所有的情况有种，其中至少有1个数的运算次数为奇数的情况有种，故所求概率，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：依照题设运算规则分别求出6，7，8，9的运算次数，结合分类分步计数求任取2个数至少有1个数的运算次数为奇数的情况种数，应用古典概型的概率求法求概率.
8．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序的基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数，然后由古典概率计算公式可得答案.
【详解】
解：中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.
从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，
基本事件总数，
其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数.
则这个音序中不含宫和羽的概率为.
故选：A.
9．某人要从甲､乙等四位好友中，随机邀请两位一同去观看体育比赛，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
基本事件总数，其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数，由此能求出甲和乙中至少有一人被邀请的概率．
【详解】
解：某人要从甲、乙等四位好友中，随机邀请两位一同去观看体育比赛，
基本事件总数，
其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数，
则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是．
故选：．
10．“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如图六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对两袋垃圾的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
任选两袋投对的组合种，其它4个元素，再求出6袋任意投的总方法数，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】
根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有种方法，
任意两袋种组合投对时，其他个元素全错位，
∴概率为.
故选：D.
11．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设男､子､伯､侯､公各分得个橘子，即可求，根据每人分到橘子且为正整数即可确定其可能取值，由“子”恰好分得13个橘子可得m值，进而求概率即可.
【详解】
设男､子､伯､侯､公各分得个橘子，
∴由题意有：，即，又且为正整数，
∴，若“子”恰好分得13个橘子，则，即.
∴“子”恰好分得13个橘子的概率为.
故选：B
12．杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用列举法求得总的选法种数和符合条件的选法种数，从而可得答案.
【详解】
《新安吏》、《石壕吏》、《潼关吏》分别记为a、b、c, 《新婚别》、《无家别》、《垂老别》分别记为d、e、f,
从“三史”中选两篇，从“三别”中选一篇，有:
abd,abe,abf；acd,ace,acf；bcd,bce,bcf,共计9种不同的结果,每种结果都是等可能的，其中含《新安史》和《无家别》的选法有abe,ace，共有2种，
∴所求概率为,
故选：A.
13．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率；
（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：
解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，
所以随机事件“密码被破译”可以表示为，
所以.
请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．

【答案】（1）0.56；（2）0.38；（3）0.94.
【分析】
（1）由相互独立事件概率乘法公式即可求解；
（2）恰有一人破译密码有两种情况：甲破译且乙没有破译和甲没有破译且乙破译，由互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解；
（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，和不是互斥事件，，由此能求出密码被破译的概率．
【详解】
解：（1）由题意可知，，且事件A，B相互独立，
事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，所以；
（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥
所以
（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，
和不是互斥事件，
，小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率，
正确解法为：．



B组 能力提升
14．（多选题）下列命题中是真命题的是（ ）
A．做7次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有4次出现正面，因此出现正面的概率是
B．盒子中有大小均匀的3个黑球，2个白球，1个红球，则每种颜色被摸到的可能性相同
C．从-4，-3，-2，-1，0，1，2中任取一个数，取得小于0的概率大于取得不小于0的概率
D．分别从2名男生，2名女生中各选一名作为代表，则每名学生被选中的可能性相同
【答案】CD
【分析】
根据题意求出各试验事件发生的概率，逐一判断即可得出选项.
【详解】
解析：A中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是，故错误；
B中，摸到黑球､白球､红球的可能性分别为，，，故错误，
C中，取得小于0的概率为，取得不小于0的概率为，故正确；
D中，每名学生被选中的可能性都为，故正确.
故选：CD.
15．（多选题）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为
【答案】ACD
【分析】
利用独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率公式求出各选项中事件的概率，进而可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；
对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误；
对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；
对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确.
故选：ACD.
16．（多选题）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计生活垃圾，经分拣以后统计数据如表（单位：）．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（ ）

“厨余垃圾”箱
“可回收垃圾”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收垃圾
30
240
30
其他垃圾
20
20
60

A．厨余垃圾投放正确的概率为
B．居民生活垃圾投放错误的概率为
C．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18000
【答案】ABC
【分析】
由表依次算出各类垃圾投放正确的概率，再算出厨余垃圾在各垃圾箱投放量的均值和方差即可.
【详解】
对于A：厨余垃圾的投放的正确的概率为，故A正确；
对于B：居民生活垃圾的投放的错误概率，故B正确；
对于C：该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“可回收垃圾”，故C正确；
对于D：厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数
，
所以，
故D错误．
故选：ABC．
17．（多选题）一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球.下面几个命题中正确的是（ ）
A．如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件
B．如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率
C．如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是
D．如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是
【答案】CD
【分析】
对于A，利用对立事件的概念判断即可；对于B，分别计算出第2次取到红球的概率和第1次取得红球的概率进行比较即可；对于C，有放回地抽取，取出1个红球1个白球包括第1次为红球第2次为白球、第1次为白球第2次为红球，然后求出概率；对于D，有放回地抽取，至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球包括第1 次红球第2次白球、第1次白球第2次红球、两次都是红球，从而可求得其概率
【详解】
对于A，不放回地抽取两个球，包括两个都是红球、两个都是白球和一个红球一个白球，共3种情况，所以取出两个红球和取出两个白球不是对立事件，所以A错误；
对于B，不放回地抽取，第2次取到红球的概率为，第1次取得红球的概率为，所以第2次取到红球的概率等于第1次取到红球的概率，所以B错误；
对于C，有放回地抽取，取出1个红球1个白球包括第1次为红球第2次为白球、第1次为白球第2次为红球，所以所求概率为，所以C正确，
对于D，有放回地抽取，至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球包括第1 次红球第2次白球、第1次白球第2次红球、两次都是红球，所以所求概率为，所以D正确，
故选：CD
18．（多选题）如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（ ）

A．甲从到达处的方法有120种
B．甲从必须经过到达处的方法有9种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
【答案】BD
【分析】
对选项A，利用组合数原理即可判断A错误，对选项B，利用分步计数原理即可判断B正确，对选项C，利用古典概型公式计算即可判断C错误，对选项D，首先计算甲、乙两人相遇的走法数，再利用古典概型公式计算即可得到D正确.
【详解】
对选项A，甲从到达处，需要走步，其中向上步，向右步，
所以从到达处的方法有种，故A错误.
对选项B，甲从到达，需要走步，其中向上步，向右步，共种，
从到达，需要走步，其中向上步，向右步，共种，
所以甲从必须经过到达处的方法有种，故B正确.
对选项C，甲经过的方法数为，乙经过的方法数为，
所以甲、乙两人在处相遇的方法数为种，
故甲、乙两人在处相遇的概率，故C错误.
对选项D，甲、乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3步，乙经过处，则前三步必须向左走，两人在处相遇的走法有1种.
若甲、乙两人在或处相遇，由选项C知，各有种，
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3步，乙经过处，则乙前三步必须向下走，则两人在处相遇的走法有1种.
所以甲、乙两人相遇的概率，故D正确.
故选：BD
19．（多选题）做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.
（1）求这个试验样本点的个数；
（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.
【答案】（1）12；（2）{(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
【分析】
（1）分x=1,2,3,4，分别考虑y的不同情况，即可得到样本试验点的个数；
（2）即为x=2时的样本点的集合，由（1）的分析可得.
【详解】
（1）当x=1时，y=2，3，4；当x=2时，y=1，3，4；同理当x=3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.
（2）记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
20．（多选题）在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：
（1）他获得优秀的概率为多少；
（2）他获得及格及及格以上的概率为多少.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，然后用列举法求解即可；
（2）用列举法求解.
【详解】
设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，则从这5道题中任取3道回答，
该试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点.
（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的样本点个数为3，故P(A)＝.
（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的样本点个数为9，故P(B)＝.
21．（多选题）《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：
评分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频率
0.03
0.02
0.02
0.03
0.04
0.05
0.08
0.15
0.21
0.36
（1）求观众评分的平均数？
（2）视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？
【答案】（1）(分)；（2）.
【分析】
（1）根据表中数据以及平均数的计算公式即可求解.
（2）根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】
（1）设观众评分的平均数为，
则
（分）
（2）设A表示事件：“1位观众评分不小于”，
B表示事件：“1位观众评分是”
∴.
22．（多选题）某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．

（1）求事件A包含的基本事件；
（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．
【答案】（1）{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}；（2）事件A的对立事件是＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”(答案不唯一)．
【分析】
（1）金额不多于30元的有10元，20元，30元三种；
（2）除10元，20元，30元三种外的所有可能放在一起，即金额多于30元且不多于120元，其中任何一个或几个组成的事件都是与事件A互斥．
【详解】
（1）事件A包含的基本事件有：{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}；
（2）事件A是获得不多于30元菜品或饮品，它的对立事件获得多于30元但不多于120元的菜品或饮品，即＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，
在获利的菜品或饮品不多于120元且多于30元中的任何一个都是与事件A互斥，如
事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”．
【点睛】
关键点点睛：本题考查互斥事件作对立事件的定义，掌握它们的定义是解题关键．对立事件是非此即彼的关系，互斥事件是不同发生的事件，但它们都包含在所研究的事件空间中．