第八讲 容斥定理-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第八讲：容斥定理

【学习目标】

1．通过集合容斥定理公式，解决实际生活中的问题.

【基础知识】

一、容斥定理公式

（1）

（2）

【考点剖析】

考点一：容斥定理的应用（一）

例1．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为（   ）

 A．60 B．70 C．80 D．90

【答案】C

【详解】

由题意可知两者之间的关系如图，

则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数.

故选：C.

变式训练1：某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（   ）

 A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【详解】

因为某校高一（9）班共有49名同学，

参加学校举办的书法竞赛中有24名同学，

参加数学竞赛中有25名，

且两项都参赛的有12名同学，

所以在两项比赛中，该班参加过比赛的同学的人数共有名学生，

所以该班没有参加过比赛的同学的人数为名.

故选：C.

变式训练2：集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（   ）

 A．28 B．23 C．18 D．16

【答案】C

【详解】

设参加田赛的学生组成集合A，则，

参加径赛的学生组成集合B，则，

由题意得，

所以，

所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有.

故选：C.

变式训练3：调查了100携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（   ）

 A．最多人数是55 B．最少人数是55 C．最少人数是25 D．最多人数是80

【答案】B

【详解】

设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.

又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则，以上两种药都带的人数为y.

根据题意列出图，如下图所示：

由图可知，.

∴，∴.

∵，∴，故最少人数是55.

故选：B.

考点二：容斥定理应用（二）

例2．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为_______．

【答案】184.

【详解】

将已知条件用Venn图表示出来如下图所示，

所以听讲座的人数为.

故答案为：184.

变式训练1：高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（   ）

 A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】C

【详解】

把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，

选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，

要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，

除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，

则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，

单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，

单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，

以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，

所以单选物理、化学的人数至多8人，

所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.

故选：C.

变式训练2：甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点.则四人中去过磁器口古镇的人数是（    ）

 A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

设甲、乙、丙、丁四名游客去过的景点组成的集分别为，

所以有景点构成的全集为，

记集合的元素的个数依次为，

则，，

，

则,，

所以每个景点都有2人去，

故选：B

变式训练3：学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有______人．

【答案】4

【详解】

由题意，画出韦恩图如下图所示：

根据题意可知

解方程组得

所以同时参加田赛与径赛的有4人

【过关检测】

1、某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集，就是两者都爱好的，要使中人数最多，则，，要使中人数最少，则，即，，∴．

故选：D．

2、某校运动会上,高一(1)班共有28名同学参加比赛,其中有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛,则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为（    ）

 A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】

只参加游泳比赛的人数：15﹣3﹣2＝10（人）；

同时参加田径和球类比赛的人数：8+14﹣（28﹣10）＝4（人）．

故选：D

3、学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为

 A．20 B．17 C．14 D．23

【答案】B

【详解】

因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，

所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.

故选B

4、50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的人数是（   ）

 A．35 B．25 C．28 D．15

【答案】B

【详解】

试题分析：全班分4类人：

设两项测验成绩都及格的人数为x人；

由跳远及格40人，可得仅跳远及格的人数为40-x人；

由铅球及格31人，可得仅铅球及格的人数为31-x人；

2项测验成绩均不及格的有4人

∴40-x+31-x+x+4=50，

∴x=25

5、某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为（    ）

 A．19 B．20 C．21 D．37

【答案】C

【详解】

由条件可知该幼儿园满天星班学员人数为.

故选：C

6、自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：

①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟

根据上述调查结果，下列结论错误的是（   ）

 A．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生

 B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多

 C．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟

 D．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟

【答案】D

【解析】

设报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A，B，C，D，则

由题意，A∩B=∅，B⊆C，D∩C=∅，C∪D=B，

∴A⊆D，B=C，C∪D=B，

选项A，B∩D=∅，正确；

选项B，B=C，正确；

选项C，A⊆D，正确，

故选D．

7、某小学五年级一班共有50名学生，在期中考试中语文25人优秀，数学30人优秀，两门都不是优秀者7人，则两门都是优秀同学共有______人.

【答案】

【详解】

解：设两门都是优秀同学共有人，利用Venn图表示如图，

所以有：，解得.

故两门都是优秀同学共有人.

故答案为：

8、建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数7人，则此班的人数为________

【答案】人

【详解】

设为建平中学高一某班全体学生

集合参加大舞台的学生

集合参加风情秀的学生

两个节目都参加的人数为,只参加风情秀的人数为.

两个节目都不参加的人数为,只参加大舞台的人数为

则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三可知

解得

所以总的人数为人

故答案为:

9、某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有__人．

【答案】5

【详解】

解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，

即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次

所以15+8+14﹣3﹣3﹣26＝5，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，

所以同时参加田径比赛和球类比赛的有5人．

故答案为5．

10、某班共人，其中人喜爱篮球运动，人喜爱乒乓球运动，人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为___________.

【答案】.

【详解】

用集合表示喜爱篮球运动的学生组成的集合，用集合表示喜爱乒乓球的学生组成的集合，表示全班学生组成的集合，作出图如下图所示：

设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的学生人数为，

则，解得.

因此，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为，故答案为.

11、在国庆周年庆典活动中，东城区教育系统近名师生参与了国庆中心区合唱、方阵群众游行、联欢晚会及万只气球保障等多项重点任务．设是参与国庆中心区合唱的学校，是参与27方阵群众游行的学校，是参与国庆联欢晚会的学校．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____．

【答案】       

【详解】

解：①设是参与国庆中心区合唱的学校,

是参与27方阵群众游行的学校,

是参与国庆联欢晚会的学校．

既参与国庆中心区合唱又参与方阵群众游行的学校的集合为．

故答案为：．

②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．

故答案为：．

12、某校举办运动会时，高一某班共有27名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.则仅参加一项比赛的共有___________人.

【答案】17

【详解】

设参加游泳比赛为集合，参加田径比赛为集合，参加球类比赛为集合，同时参加球类和田径比赛的有人

由韦恩图可知，，解得

则仅参加一项比赛的共有人

故答案为：

13、有三支股票A,B,C．总共28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍.在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票.则只持有B股票的股民人数是_____人.

【答案】

【详解】

由题意，作出韦恩图，如图所示，

根据题意，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍.在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，可得，即值持有B股的股民人数为7人.

14、向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

【答案】对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人.

【详解】

赞成A的人数为，赞成B的人数为，

记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N，

设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的人数为，赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为，作出图如下所示，

依题意可得，解得，

所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人.

15、某班对两条新制定的班规A，B进行表决，结果A以的得票率顺利通过，而B却因得票率为，未过半数被否决;并且知道，对A，B都投赞成票的学生人数是对A，B都投否决票的学生人数的6倍，已知全班共50人，并且不能弃权，问单投A赞成票和同时投A，B赞成票的学生各多少人?

【答案】27；18.

【详解】

设集合为对投赞成票的学生，集合为对投赞成票的学生，

依题意有45人，有20人，

对、都投赞成票的学生则表示为，设为人，对、都投否决票的学生则表示为，依意为，

根据集合运算公式：，

，则，解得：，

所以同时投A，B赞成票的学生18人.

单投A赞成票的人可表示为人.

16、已知全集U，集合A、B、C的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：

（1）

（2）

【答案】(1)

(2)

【详解】

(1) 先分析与,再求并集可得如图阴影部分.

(2) 先判断与,再求并集可得如图阴影部分.