第十八讲 基本不等式的证明（四个平均数）-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第十八讲：基本不等式证明（四个平均数）

【学习目标】

1、掌握四个平均数的表达形式；

2、通过圆的弦长等关系，表示出四个不等式的大小关系.

【基础知识】

四个平均数不等式关系：

对，都有，其中为调和平均数，为几何平均数，为算术平均数，为平方平均数.

结论：由图可知，，则

【考点剖析】

考点一：基本不等式的证明（四个平均数）

例1．由图可知，，则

1、已知.

证明：

，

，，

由图可知，，即证

2、已知，.

证明：.

，

，，

由图可知，，即证.

3、已知，，.

证明：.

，，

，，

有图可知，，

，即

解得

由图可知，，即证.

综上：

变式训练1：《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且，点C在直径上运动.设，，则由可以直接证明的不等式为（   ）

 A． B．

 C． D．

【答案】D

【详解】

不妨设点C在半径上运动.

由图形可知：，．

在中，由勾股定理可得,

，，.

故选：D．

变式训练2：《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（   ）．

 A． B．

 C． D．

【答案】B

【详解】

解：因为直角三角形的直角边长分别为和，所以大正方形的面积为

由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，

所以（）

故选：B

变式训练3：《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是（   ）

 A． B．

 C． D．

【答案】A

【详解】

连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.

在中，由射影定理可得，即，

由得，

故选A.

【过关检测】

1、《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ）

 A． B．

 C． D．

【答案】D

【详解】

由图形可知，，，

由勾股定理可得，

在中，由可得.

故选：D.

2、《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（   ）

 A．

 B．

 C．

 D．

【答案】D

【详解】

是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当 与重合时，，所以，故选D.

3、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ）

 A． B．

 C． D．

【答案】A

【详解】

取圆心为O点，连接OF

由图形可知：，

在直角中，根据射影定理可得：

所以

，

，．

∴.

故选：A.

4、《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接．作交于．由可以证明的不等式为（   ）

A． B．

 C． D．

【答案】A

【详解】

解：由射影定理可知，即，

由得，

故选：．

5、（多选题）设，，称为、的算术平均数，为、的几何平均数，为、的调和平均数，称为、的加权平均数.如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.取弧的中点为，连接，则在图中能体现出的不等式有（   ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】ABD

【详解】

对于A选项，，且为半圆的直径，则，

由，可得，

所以，，，，

，由图可知，，即，

当点与点重合时，即当时，等号成立，A选项成立；

对于B选项，连接，

由于为半圆弧的中点，则，

当点与点不重合时，，，，

由勾股定理可得，

此时，，即.

当点与点重合，即当时，，即.

综上所述，，当且仅当时，等号成立，B选项成立；

对于C选项，，，

又，则，所以，，

所以，，

由图可知，，即，C选项不成立；

对于D选项，，可得，可得，

当且仅当点与点重合时，即当时，等号成立，D选项成立.

故选：ABD.

6、（多选题）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且.设，，，垂足为，则该图形可以完成的无字证明为（   ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】AC

【详解】

解：根据图形，利用射影定理得：，

由于：，

所以：．

由于，

所以

所以由于，

整理得：．

故选：．

7、（多选题）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,为线段上的点,且,,为的中点,以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于,连结,,,过点作的垂线,垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ）

A．(,) B．(,)

C．(,) D．(,)

【答案】AC

【详解】

由，由射影定理可知：

又

(,)，A正确；

由射影定理可知：,即

又，即(,)，C正确；

故选：AC

8、设，，称为，的调和平均数.如图，点为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于点.连接，，.过点作的垂线，垂足为点.则图中线段的长度是，的算术平均数，线段________的长度是，的几何平均数，线段________的长度是，的调和平均数.

【答案】；

【详解】

解：在中为高，则由射影定理可得，

，即长度为，的几何平均数，

将代入

可得

故，

，

的长度为，的调和平均数．

故答案为：；.

9、设，，称为，的平方平均数，为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作圆．过点，分别作的垂线，交圆于，两点．连结，．过点作的垂线，垂足为．已知图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数．则图中所示线段中，线段__________的长度是，的平方平均数，线段__________的长度是，的调和平均数．

【答案】；

【解析】

由题意得，，，

∵，

∴，

即；

又∵在中，，

故线段的长度是，的平方平均数，

线段的长度是，的调和平均数．

10、《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段___________的长度是a，b的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为___________．

【答案】；

【详解】

依题意三角形是直角三角形，；

在直角三角形中，.

由射影定理得，

由射影定理得，即，

所以线段的长度是的调和平均数.

在中，，即，

当时，重合，即，

所以.

故答案为：；

11、《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点、在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成的无字证明.图中线段________的长度表示，的调和平均数，线段_________的长度表示，的平方平均数.

【答案】；

【详解】

由图形可知，，

在直角中，由勾股定理得，

在直角中，由勾股定理得，

由，利用与相似可得： ，所以

所以线段的长度表示，的调和平均数；线段的长度表示，的平方平均数，

故答案为：，