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第二十一讲 二次函数与一元二次方程-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷
展开第二十一讲：二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1．掌握求解函数的解析式，最值；
2．通过函数的解析式，结合图像及其性质，分类讨论求解函数最值.
【基础知识】
一、二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac | Δ>0 | Δ＝0 | Δ<0 |
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 | |||
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 | 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) | 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ | 没有实数根 |
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 | {x|x<x1，或x>x2} | R | |
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 | {x|x1<x<x2} | ∅ | ∅ |
【考点剖析】
考点一：求二次函数解析式（一）
例1．如果为二次函数,，并且的两根为和1，则________．
变式训练1：已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2：已知二次函数的图象经过，两点，则二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练3：已知二次函数满足，且的最大值是8，求二次函数的解析式．
考点二：求二次函数解析式（二）
例2．已知是二次函数，且满足，，求
变式训练1：已知是二次函数，且，，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2：已知函数是二次函数，且满足，则= _______．
变式训练3：已知二次函数满足且，求二次函数的解析式．
考点三：求二次函数最大值与最小值
例3．已知二次函数满足：，且.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数在上的值域.
变式训练1：如图是一个二次函数的图象.
（1）写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式及时函数的值域
变式训练2：已知是二次函数，若，且．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最大值与最小值，并求此时的值．
变式训练3：已知二次函数的图像与轴交于两点A（1，0）,B（3，0）且
（1）求二次函数的解析式；
（2）当[1、4]时，求最小值和最大值.
考点四：已知二次函数最值求参
例4．已知二次函数在上的最小值为.求的值.
变式训练1：已知二次函数在区间上有最大值，试求实数b的值．
变式训练2：已知二次函数在区间上有最大值，求实数的值．
变式训练3：已知二次函数.
（1）求该二次函数的定义域、值域、对称轴、顶点坐标（用表示，定义域、值域为集合）；
（2）若当时，y的最大值为4，求实数的值.
考点五：分类讨论求二次函数最值（一）
例5．已知二次函数.
（1）如果二次函数恒有两个不同的零点，求的取值范围；
（2）当时，讨论二次函数在区间上的最小值.
变式训练1：已知二次函数满足，，且的最大值是8.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求在上的最大值.
变式训练2：已知二次函数的零点为0和2，且
（1）求二次函数的解析式
（2）若函数，求在的最小值.
变式训练3：求二次函数在区间上的最大值.
考点六：分类讨论求二次函数最值（二）
例6．已知二次函数，且，为方程的两根．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若，求的最小值的解析式．
变式训练1：已知某二次函数的图象与轴交于点，，且过点，
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求时的最大值和最小值.
变式训练2：已知二次函数的图像的顶点为，且与y轴的交点为.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数在区间上的值域.
考点七：恒成立问题
例7．已知二次函数过坐标原点，且对任意实数都有，
（Ⅰ）求二次函数的解析式；
（Ⅱ）在区间 上，二次函数的图像恒在一次函数图像的上方，
求实数的取值范围.
变式训练1：已知二次函数满足且
（1）求二次函数的解析式．
（2）在区间上，的图像恒在的图像的上方．求实数的取值范围．
【当堂小结】
1、二次函数解析式有三种形式：
（1）一般式：；
（2）顶点式：；
（3）两根式：．
2、二次函数最值求解：配方法（开口和对称轴）
3、分类讨论求二次函数的最值.
【过关检测】
1、若二次函数的图像开口向上且关于直线对称，并过点，则此二次函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2、已知二次函数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
3、已知二次函数的图象经过三点，，那么这个二次函数的解析式为______．
4、二次函数，的值域为________
5、二次函数在区间上的最大值为________．
6、若二次函数满足且，则的解析式为_______.
7、已知二次函数只有一个零点，则实数__________.
8、二次函数的最大值是，则_______.
9、已知一个二次函数满足，，，求这个二次函数的解析式.
10、已知二次函数的图像经过三点，求二次函数的解析式．
11、已知二次函数，当 时，的最小值为，且方程的两根之差为7，求此二次函数的解析式．
12、已知是二次函数，且，求的解析式.
13、已知是二次函数，且满足，求的解析式．
14、已知为二次函数，且满足，，求的解析式．
15、已知函数是二次函数，且，求的解析式。
16、已知二次函数满足，且的最大值是8.
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求的值域.
17、求二次函数在上的最小值.
