第二十二讲 一元二次不等式及其应用-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第二十二讲：一元二次不等式及其应用

【学习目标】

1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.

2．分类讨论，求解含参的不等式．

【基础知识】

一、一元二次不等式的概念

二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

三、一元二次不等式恒成立问题

1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即

ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔

ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔

2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．

【考点剖析】

考点一：解一元二次不等式

例1．求下列不等式的解集：

 （1）；  （2）；

 （3）； （4）.

变式训练1：一元二次不等式的解集是（   ）

 A．或 B．

 C．或  D．

变式训练2：一元二次不等式的解集是（   ）

 A．  B．或

 C．  D．或

变式训练3：关于的一元二次不等式的解集为（   ）

 A．  B．或

 C．  D．或

考点二：一元二次不等式求解逆用

例2．设一元二次不等式的解集为，则（   ）

 A． B． C． D．

变式训练1：变式训练2：设一元二次不等式的解集为，则的值为（   ）

 A． B． C． D．

变式训练2：已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为（   ）

 A． B． C．， D．

考点三：解含参一元二次不等式（一）

例3．．

变式训练1：已知函数（）．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）解不等式．

变式训练2：解不等式

考点四：解含参一元二次不等式（二）

例4．解下列含参数的不等式：

（1）；

（2）；

（3）．

变式训练1：求关于的一元二次不等式的解集．

变式训练2：解关于的不等式.

考点五：整数解个数问题

例5．（多选）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（   ）

 A． B． C． D．0

变式训练1：（多选）关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则实数的值可以是（   ）

 A．2 B．4 C．6 D．8

变式训练2：（多选）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（   ）

 A．0 B．1 C．2 D．3

变式训练3：（多选）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（    ）

 A．5 B．6 C．7 D．8

考点六：一元二次不等式恒成立问题

例6．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ）

 A．  B．

 C．  D．

变式训练1：若关于的一元二次不等式的解集为，则（   ）

 A． B． C． D．

变式训练2：若一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（   ）

 A． B． C． D．

变式训练3：已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ）

 A． B．

 C．  D．

考点七：一元二次不等式实际应用

例7．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y(米)与汽车车速x(千米/小时)满足下列关系式：（为常数，且）.在两次试验刹车中，所取得的有关数据如图所示，其中，.

（1）求；

（2）要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？

变式训练1：2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.

（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围；

（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.

变式训练2：科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．

（1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围．

【当堂小结】

1．知识清单：

(1)简单的分式不等式的解法．

(2)不等式的恒成立问题．

(3)一元二次不等式的实际应用．

2．方法归纳：转化、恒等变形．

3．常见误区：

(1)解分式不等式要等价变形．

(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．

【过关检测】

1、一元二次不等式的解集为（    ）

 A．或 B．或

 C．  D．

2、关于的一元二次不等式的解集为（    ）

 A．或 B．

 C．或 D．

3、一元二次不等式的解集是（    ）

 A．或 B．

 C．或  D．

4、一元二次不等式的解集为（   ）

 A．  B．

 C．  D．

5、一元二次不等式的解集是，则的值是（   ）

 A． B． C． D．

6、若一元二次不等式的解集为｛或｝，则实数的值是（    ）

 A． B． C． D．

7、设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ）

 A．1 B． C．4 D．

8、已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是（    ）

 A． B． C． D．3

9、已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（    ）

 A．6 B． C． D．3

10、一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

 A．  B．

 C．  D．

11、一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

 A．  B．

 C． D．

12、一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

 A．  B．

 C．  D．

13、已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式解集是（    ）

 A． B．

 C．  D．

14、（多选）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（   ）

 A．12 B．13 C．14 D．15

15、（多选）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（   ）

 A．6 B．7 C．8 D．9

16、（多选）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（   ）

 A．4 B．5 C．6 D．7

17、若关于的一元二次不等式的解集为，则（   ）

 A． B． C． D．

若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ）

 A． B． C． D．

18、若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ）

 A． B． C． D．

19、已知一元二次不等式的解集为,且,求不等式的解集.

20、已知关于的一元二次不等式，其中．

（）若不等式的解集是，求，值．

（）求不等式的解集．

21、已知关于的一元二次不等式，其中.

（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；

（Ⅱ）解上述含参一元二次不等式.

22、随着“新冠”疫情得到有效控制，企业进入了复工复产阶段为了支持一家小微企业发展，某科创公司研发了一种玩具供其生产销售．根据测算，该企业每月生产每套玩具的成本由两部分费用（单位：元）构成：①固定成本（与生产玩具套数无关），总计2万元；②生产所需成本

（1）问：该企业每月生产多少套玩具时，可使得平均每套所需的成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？

（2）因“疫情”防控的需要，要求企业的复工复产逐步进行，假设复工后，企业每月生产套，售价定为（单位：元），且每月生产出的玩具能全部售出如果企业的月产量与复工率成正比，且该企业复工率达100%时的月产量为4000套，问：该企业的复工率至少达到多少时，才能确保月利润不少于10万元？

23、2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产．某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．