第二十三讲 分式不等式-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第二十三讲：分式不等式

【学习目标】

1．掌握通过分式不等式转化为一元二次不等式求解，分母不为零；

2．掌握分式不等式含参的分类讨论.

【基础知识】

分式不等式的解法

【考点剖析】

考点一：分式不等式（一）

例1．若集合，，则（   ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：，

，

又，

，

故选：B.

变式训练1：不等式的解集是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

不等式，等价于，

所以.

故选：C

变式训练2：不等式的解集为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

原不等式可化为，解得．

故选：D．

变式训练3：已知集合，，则（   ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】A

【详解】

，，

因此，.

故选：A.

考点二：分式不等式（二）

例2．不等式的解集（   ）

 A．  B．

 C．或 D．或

【答案】D

【详解】

不等式可化为，

即，

解得： 或，

故不等式的解集为：或.

故选：D

变式训练1：不等式的解集为（   ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】D

【详解】

，解得：或，

不等式的解集为，

故选：D.

变式训练2：已知集合，，则（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

,或，

所以.

故选：D.

变式训练3：设，则是的（   ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充要条件  D．不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

由可得，

由可得解得或，

据此可知“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

考点三：含参分式不等式求解

例3．已知不等式解集为，解关于的不等式；

【答案】；

【详解】

因为不等式解集为，

所以，解得，，满足题意，

则不等式即，，解得，

不等式的解集为.

变式训练1：已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是________________．

【答案】

【详解】

因为关于的不等式的解集是或，所以或，

所以的解集是.

故答案为：

变式训练2：若关于的不等式的解集是或，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【详解】

解：，

即，

即，

原不等式的解集为或，

故，

当时，由，

得，

故，

当时，由

解得：或，不符合题意，

当时，由，

解得：或，

再根据以及，

即可求得原不等式的解集为：或，

综上所述：.

故答案为：.

变式训练3：已知不等式．

（1）当时，解这个不等式；

（2）若对恒成立，求实数的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1）当时，原不等式可化为，解得：，

不等式的解集为；

（2）当时，，，

即；

（当且仅当，即时取等号），

，，则实数的最大值为.

【当堂小结】

分式不等式的解法：

(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

【过关检测】

1、设集合，则（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】D

【详解】

，，所以，

故选：D.

2、已知集合，，则（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】A

【详解】

，，因此，.

故选：A.

3、设集合，，则（    ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

=(3,+∞),∴,

，解得或,

∴,

∴,

故选：A.

4、已知集合，，则等于（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】C

【详解】

由题意，集合，

又因为集合，

所以.

故选：C.

5、已知集合，集合，则（    ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，

∵，  ∴.

故选：B

6、已知集合，，则（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，，

所以.

故选:C．

7、已知全集，集合，则（    ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解不等式得或,

所以,

所以.

故选：B.

8、不等式的解集为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由得，即，

解得：或，所以不等式的解集是，

故选：C.

9、不等式的解集是（    ）

 A．  B．或

 C．  D．或

【答案】A

【详解】

解：由题意可得，所以，解得.

故选：A.

10、已知集合，集合，则（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，所以.

故选C.

11、关于的不等式的解集为（    ）

 A．  B．

 C．或  D．或

【答案】C

【详解】

将不等式化为，解得或，

故不等式的解集为或.

故选：C.

12、不等式的解集为（    ）

 A．或 B．

 C．  D．

【答案】A

【详解】

解：恒成立，

故原不等式等价于且，

即

解得：或，

故原不等式的解集为：或.

故选：A.

13、不等式的解集是（    ）

 A．  B．

 C．或  D．

【答案】B

【详解】

解:不等式，移项得，即，

可化为或解得

则原不等式的解集为，

故选:B．

14、不等式的解集为（    ）

 A．或 B．或

 C．或或 D．或或

【答案】D

【详解】

解：，

即，

即，

当时不等式成立，

又恒成立，

不等式，

利用穿针引线画出的简图如图所示：

解得此不等式的解集为或

故原不等式的解集为：或或.

故选：D.

15、不等式的解集是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，所以且，

所以且，所以且，

所以不等式的解集为

故选：C

16、关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是__________．

【答案】

【详解】

关于x的不等式的解集是，故，即，

则不等式即，又，故，即且，

所以解集为.

故答案为：.

17、已知全集.

（1）求；

（2）求；

【答案】（1）；（2）.

（2）先解绝对值不等式，求出集合，从而求出，由此能求出．

【详解】

（1）

，

，

.

（2），

由（1）知，

.

18、解下列不等式：

（1）；

（2）.

【答案】（1）或（2）或

【详解】

(1)在不等式的两边同乘－1，可得.

方程的解为，，

函数的图象是开口向上的抛物线，

所以原不等式的解集为或；

(2) ⇒

故原不等式的解集为或．

19、解下列不等式：

（1）；

（2）：

【答案】(1)； (2).

【详解】

(1)因为的两根为，，

所以原不等式的解集为.

(2)由，得，即，

所以，所以 ，所以原不等式的解集为.

20、解下列分式不等式：

（1）;

（2）;

（3）;

（4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【详解】

解：（1），所以，所以，即，解得，故原不等式的解集为；

（2），所以等价于，解得或或，故原不等式的解集为

（3），所以，等价于，解得或，故原不等式的解集为；

（4），所以，即，即,因为恒成立，所以原不等式等价于，即，解得或，故原不等式的解集为