第二十五讲 不等式恒成立问题与能成立问题-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第二十五讲：不等式恒成立问题与能成立问题

【学习目标】

1．在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．

【基础知识】

不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

【考点剖析】

考点一：二次函数型恒成立问题

例1．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

当时，原不等式可化为，对恒成立；

当时，原不等式恒成立，需，

解得，

综上.

故选：D

变式训练1：若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

当时，即，此时恒成立，满足条件；

当时，因为对任意实数都成立，

所以，解得，

综上可知，，

故选：D.

变式训练2：不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】C

【详解】

因为不等式对于任意的恒成立，

所以函数对于任意的恒成立，

当时，函数，满足题意；

当时，结合二次函数性质易知，，解得，

综上所述，实数的取值范围是，

故选：C.

变式训练3：设.若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

【答案】（1）；

【详解】

由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于

对于一切实数恒成立.所以.

考点二：二次函数型能成立问题

例2．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

不等式等价于存在，使成立，

即

设

当时，

所以 .

故选：A

变式训练1：若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：关于的不等式在区间，上有解，

在，上有解，

即在，上成立；

设函数，，，

在，上是单调减函数，又，

所以的值域为，，

要在，上有解，则，

即实数的取值范围为．

故选：．

变式训练2：若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】B

【详解】

因为不等式在上有解，

所以不等式在上有解，

令，则，

所以，

所以实数的取值范围是

故选：B

变式训练3：已知关于的不等式在上有解，则实数 的取值范围是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

不等式在上有解，

在上有解，

在单调递增，，

.

故选：D.

考点三：基本不等式型恒成立问题

例3．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（    ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

已知正数、满足，可得，

所以，，

当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.

因此，实数的最大值为.

故选：A.

变式训练1：已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】B

【详解】

因为恒成立，则，

，

当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8，

所以，即，解得：.

故选：B

变式训练2：已知，，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

 A．或  B．或

 C．  D．

【答案】C

【详解】

若恒成立，则，

因为，

当且仅当，即时取等号．

所以

所以，即，

解得：．

故选：C

变式训练3：已知正实数满足.

（1）求的最大值；

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1），所以，解得，

当且仅当取等号，∴的最大值为.

（2），

当且仅当，取等号，

∴，解得.

即a的取值范围是.

考点四：变换主元

例4．已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.

【答案】

【详解】

由题意，因为当时，不等式恒成立，

可转化为关于的函数，

则对任意恒成立，则满足

解得，即的取值范围为.

故答案为：.

变式训练1：已知时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ）

 A．(-∞，2)∪(3，+∞)  B．(-∞，1)∪(2，+∞)

 C．(-∞，1)∪(3，+∞)  D．(1，3)

【答案】C

【详解】

由题意，因为时，不等式恒成立，

可转化为关于的函数，

则对应任意恒成立，

则满足，解得：或，

即的取值范围为.

故选：C

变式训练2：若不等式对任意成立，则的取值范围为（    ）

 A． B．

 C．  D．

【答案】A

【详解】

由题得不等式对任意成立，

所以，

即，

解之得或.

故选：A

变式训练3：已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.

【答案】

【详解】

由题意，因为当时，不等式恒成立，

可转化为关于的函数，

则对任意恒成立，则满足

解得，即的取值范围为.

故答案为：.

【当堂小结】

1、结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．

2、通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．

3、转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．

【过关检测】

1、关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

 A．  B．

 C． D．

【答案】B

【详解】

解：①当时，则成立，故符合题意，

②时，因为对任意恒成立，

所以，

不等式变为：，

，

所以：，

综上：.

故选：B.

2、已知不等式的解集为则的取值范围是（    ）

 A．  B．

 C． D．

【答案】A

【详解】

因为不等式的解集为

所以，

解得，

所以的取值范围是，

故选：A.

3、不等式对一切实数都成立，则实数的范围是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

不等式可变形为

由不等式对一切实数都成立，

，即，解得

所以实数a的范围是

故选：C

4、已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题知不等式,对一切恒成立

所以当时, ,满足；

当时，由二次函数性知，

所以实数a的取值范围为：，

故选:D

5、已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】C

【详解】

因为不等式的解集为空集，

所以不等式在上恒成立，

当时：且

解得：；

当时即，

当时，不等式在上恒成立；

当时，不等式在上不恒成立；

综上：实数a的取值范围.

故选：C.

6、若关于的不等式对一切的实数恒成立，那么实数的取值范围是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

原不等式等价于对一切的实数恒成立，

①当时，原不等式等价于对一切的实数恒成立，

②当时，，解得．

综上所述，实数的取值范围是，．

故选：D．

7、已知函数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】B

【详解】

，即

当时，不等式恒成立，；

当时，，则

令，则

即，解得

故选：B

8、若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵正数满足，

∴，，

当且仅当，即，时，等号成立，

∴，即对任意实数恒成立，

∴，解得．

故选：A．

9、（多选）对于正数，，且，若恒成立，则可以为（    ）

 A．3 B． C．2 D．1

【答案】BCD

【详解】

因为对于正数，，满足，

所以恒成立化为，

恒成立 ，

又因为，

，当时 等号成立，

所以，选项BCD都符合题意，

故选：BCD.

10、（多选）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的可能取值为（    ）

 A． B． C． D．2

【答案】ACD

【详解】

，，

即，

，

当且仅当，即时，等号成立，

即， 解得：或，选项中满足条件的有ACD.

故选：ACD

11、已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【详解】

因为、为两个正实数，由可得，

因为，当且仅当时，等号成立.

所以，，因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

12、已知，若不等式恒成立，则的最大值为__________．

【答案】

【详解】

由题意，不等式恒成立，且，即为恒成立，即成立，由，当且仅当，即，取得等号，即有，则的最大值为.

故答案为：

13、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【详解】

解：因为正实数，满足，

所以，所以；

又因不等式恒成立，

所以恒成立，

即恒成立，

则，

因为，

当且仅当时取等号，此时取得最小值 ，

故．

故答案为：．

14、，，且，不等式恒成立，则的范围为_______.

【答案】

【详解】

解：因为，

所以

，

当且仅当，即时，取等号，

因为不等式恒成立，

所以小于等于最小值，

所以，

故答案为：

15、若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________

【答案】或

【详解】

解：因为，所以

令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为

故答案为：

16、对于，不等式恒成立的的取值范围是_____________

【答案】

【详解】

，

令，，

当时，，则不成立；

当时，，解得：或；

当时，，解得：或；

综上所述：.

故答案为：.

17、已知.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【详解】

（1）当时，，即 ，

 ，即，解得或，

∴原不等式的解集为或.

（2）当时恒成立，

，即，

设，当且仅当时等号成立，

.

18、已知二次函数.

（1）若在上单调递减，求实数的最小值；

（2）存在，使得有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）1；（2）

【详解】

（1）的对称轴为，开口向上，

若在上单调递减，则，

故的最小值为1；

（2），即在有解，

令，对称轴为，开口向上，

当时，，解得，此时无解；

当时，，解得，

综上，.

19、设函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）由题意可知：方程的两根是，1

所以

解得

（2）由得

存在，成立，即使成立，

又因为，代入上式可得成立.

当时，显然存在使得上式成立；

当时，需使方程有两个不相等的实根

所以

即

解得或

综上可知的取值范围是．