专题强化训练试卷四 简单几何体的结构特征、表面积与体积（基础练，含解析）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

专题强化训练试卷四 简单几何体的结构特征、表面积与体积

 (基础篇）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（    ）

A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B．正方形的直观图为平行四边形

C．梯形的直观图不是梯形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

【答案】B

【解析】由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；

当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，

当线段与x轴平行时，线段长度减半，

直角坐标系变成斜坐标系，而平行关系没有改变.故选：B.

2.下列几何体中是四棱锥的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为一个多面体的一个面是四边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做四棱锥.只有C符合，故选：C

3.底面半径为，母线长为的圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】由题意可得圆锥的高，

则圆锥的体积为：.故选：D.

4.. 一个球的表面积是，则它的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】一个球的表面积是，设球的半径为，球的表面积公式为，

代入可得，解得，

所以球的体积为，故选：D.

5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.

详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，

结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，

所以其表面积为，故选：B.

6.某侧棱长为的正四棱锥，如果底面周长是，则这个棱锥的侧面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为正四棱锥，底面周长是，

所以底面边长是a

又因为侧棱长为，

所以各侧面是正三角形，

所以这个棱锥的侧面积是，故选：A

7.养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（    ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

【答案】B

【解析】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为立方米；

仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为立方米.

所以新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为立方米.故选：B.

8.《九章算术》是我国古代数学名著﹐它在几何学中的研究比西方早多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，.则该阳马的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】连接AC，BD，交于，取PC中点O，连接，如图所示

因为分别为PC，AC的中点，所以，

又平面ABCD，所以平面ABCD，

所以O到A,B,C,D的距离都相等，又，

所以O为该四棱锥的外接球的球心，

在中，，，

所以，

所以该四棱锥的外接球的半径，

所以该阳马的外接球的表面积.故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则下列叙述不正确的是（    ）
 

A．原图形是非正方形的菱形 B．原图形是正方形

C．原图形的面积是 D．原图形的面积是

【答案】ABD

【解析】过C'作C'D//y'轴，交x'轴于D,将DC'绕 D逆时针旋转45°，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C,将C沿O'A'方向和长度平移得到 B,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示:
 

,

,

故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B均错误,

又直观图的面积,

所以原图的面积,故选:ABD.

10.下面关于空间几何体叙述不正确的是（    ）

A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B．棱柱的侧面都是平行四边形

C．直平行六面体是长方体

D．直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥

【答案】ACD

【解析】对于：底面是正多边形且棱锥顶点在底面投影必须是底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故选项不正确；

对于：棱柱的侧面都是平行四边形是正确的，故选项正确；

对于：直平行六面体底面是平行四边形侧棱垂直于底面，不一定是长方体，故选项不正确；

对于：以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故选项不正确；故选：ACD

11.已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（    ）．

A．该四棱台的高为 B．

C．该四棱台的表面积为26 D．该四棱台体积为

【答案】AD

【解析】由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于，，可知△ 与相似比为；

则，，则，则，该四棱台的高为，对；

因为，则与夹角为，不垂直，错；该四棱台的表面积为，错；故选：AD

12.如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱锥的外接球，则（    ）

A．球心到平面的距离是 B．球心到平面的距离是

C．球的表面积是 D．球的体积是

【答案】BC

【解析】三棱锥可置于棱长为2的正方体内，

正方体的上底面的中点即为此三棱锥的顶点，

如下图的，

分别设，为､外接圆圆心，所以A错；

因为，则是的中点.在等腰三角形中，，

设其外接圆半径为(如图)，

则，得：，解得，.所以，B对；

设三棱锥外接球半径为在中，

，，所以，解得.

从而.所以C对，D错.故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为_________

【答案】a2

【解析】如图①②所示的实际图形和直观图.

由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.   故答案为：a2.

14.圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，则最短绳长为_________．

【答案】

【解析】由题意，所以圆锥侧面展开图中心角为，如图，，则．故答案为：．

15.正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成的角为，则它的体积为______.

【答案】

【解析】由已知，正四棱锥的底面边长为，故底面积为，

又侧棱与底面所成的角为，所以正四棱锥的高为，

故正四棱锥的体积，故答案为：.

16.在正三棱锥中，M、N分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是______.

【答案】

【解析】取中点，连接.

三棱锥为正三棱锥，，，

又为中点，，，

平面，，平面，又平面，

，又分别为中点，，，

又，，平面，平面，

平面，又平面，，，

由正三棱锥特点知：两两互相垂直，

三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球，

三棱锥的外接球半径，

三棱锥的外接球表面积.故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.如图，四边形是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.

【答案】图像见解析，

【解析】画出平面直角坐标系，使点与原点重合，在轴上取点，使，再在轴上取点，使，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，则四边形为正方形的原图形，如图所示.

易知四边形为平行四边形.

∵，，

∴，即原图形的面积为.

18.如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．

【答案】，

【解析】如图，，在中，．

，E为BC的中点，

侧棱长都相等，

，

19.在正方体中，三棱锥的表面积为，则求正方体外接球的体积.

【答案】

【解析】设正方体的棱长为，则，

由于三棱锥的表面积为，

所以所以

所以正方体的外接球的半径为，

所以正方体的外接球的体积为

20.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；

（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.

【答案】（1）（2）体积：. 表面积：

【解析】（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为

圆柱的体积

球的体积

圆柱与球的体积比为：

（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为

圆锥的母线长：

圆锥体积：.

圆锥表面积：.

21.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，

求：（1）该几何体的体积．

（2）截面ABC的面积．

【答案】(1)6;(2)

【解析】（1）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，其底面为△A1B1C1，高为4+2＝6，

∴所求几何体的体积为V2×2×6＝6；

（2）△ABC中，AB，BC，AC2，

∴△ABC为等腰三角形，底边AC的高为：h；

∴截面ABC的面积为S△ABC2．

22.如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．（提示：本题的数据有长度单位）

（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；

（2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；

（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？

【答案】（1）；（2）25cm；（3）2cm.

【解析】（1）作出圆锥的轴截面和沿剪开的侧面展开图，如下图

由底面半径是5cm，上底半径为2.5cm，AB的长为10 cm，可得： cm，

所以，圆锥的高为：＝，小圆锥的高为．

因此圆台的体积为：，

侧面积为：．

（2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，

所以，侧面展开图的圆心角为，

在直角三角形中，可得，所以最短时候，绳长为25cm

（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是到直线的距离减OB长：．