专题1 集合的含义与表示-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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专题1 集合的含义与表示
题组1 集合的概念
1.对于以下说法：①接近于0的数的全体构成一个集合；②长方体的全体构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合；⑤0,0.5，，组成的集合含有四个元素.其中正确的是（　　）
A.①②④
B.②③⑤
C.③④⑤
D.②④
【答案】D
【解析】①③中的元素不能确定，⑤中的集合含有3个元素，②④中的元素是确定的，所以②④能构成集合.故选D.
2.下列各组对象可以组成集合的是（　　）
A.数学必修1课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
【答案】B
【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合.
3.下列说法中正确的是（　　）
A.班上爱好足球的同学，可以组成集合
B.方程x（x－2）2＝0的解集是{2,0,2}
C.集合{1,2,3,4}是有限集
D.集合{x|x2＋5x＋6＝0}与集合{x2＋5x＋6＝0}是含有相同元素的集合
【答案】C
【解析】班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；方程x（x－2）2＝0的所有解的集合可表示为{0,2}，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；集合{1,2,3,4}中有4个元素，所以集合{1,2,3,4}是有限集，选项C正确；集合{x2＋5x＋6＝0}不符合集合的表示形式，既不是列举法，也不是描述法，表示形式错误，选项D不正确.故选C.
4.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（　　）
A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B.P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合
C.P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对（2,3）构成的集合
D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
【答案】A
【解析】由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.

题组2 集合中元素的特征
5.数集{x2＋x,2x}中，x的取值范围是（　　）
A.（－∞，＋∞）
B.（－∞，0）∪（0，＋∞）
C.（－∞，1）∪（1，＋∞）
D.（－∞，0）∪（0,1）∪（1，＋∞）
【答案】D
【解析】根据题意，由集合中元素的互异性，可得集合{x2＋x,2x}中，x2＋x≠2x，即x≠0，x≠1，则x的取值范围是（－∞，0）∪（0,1）∪（1，＋∞）.故选D.
6.数集{1,2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（　　）
A.{2，}
B.{－2，－}
C.{±2，±}
D.{2，－}
【答案】C
【解析】由x2－3≠1解得x≠±2.
由x2－3≠2解得x≠±.
∴x不能取得值的集合为{±2，±}.
故选C.
7.若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素，则a等于（　　）
A.4 B.2 C.0 D.0或4
【答案】A
【解析】当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件；
当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.
故选A.
8.若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为（　　）
A.1
B.0
C.0或1
D.以上答案都不对
【答案】C
【解析】k＝0时，适合题意；k≠0，由Δ＝0，可得k＝1.
9.由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含（　　）
A.2个元素
B.3个元素
C.4个元素
D.5个元素
【答案】A
【解析】由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素.
10.设集合A＝{－1,1,2，－2}，B＝{0,3，－3}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】C
【解析】由集合中元素的互异性，可知集合M＝{0，－3,3,6，－6}，所以集合M中共有5个元素.

题组3 元素与集合的关系
11.由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则（　　）
A.a∈A
B.a2∈A
C.∉A
D.a＋1∉A
【答案】A
【解析】a＝＋<＋＝4<5，∴a∈A.
a＋1<＋＋1＝5，∴a＋1∈A.
a2＝（）2＋2·＋（）2＝5＋2>5.∴a2∉A.
＝＝＝－<5.
∴∈A.
故选A.
12.已知集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，N＝{y|y＝3n＋2，n∈Z}，若x0∈M，y0∈N，则x0y0与集合M，N的关系是（　　）
A.x0y0∈M但x0y0∉N
B.x0y0∉M且x0y0∉N
C.x0y0∈N但x0y0∉M
D.x0y0∈M且x0y0∈N
【答案】C
【解析】设x0＝3m＋1，y0＝3n＋2，m，n∈Z，
则x0y0＝（3m＋1）（3n＋2）＝9mn＋6m＋3n＋2＝3（3mn＋2m＋n）＋2，
∴x0y0∈N但x0y0∉M，
故选C.
13.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，且a∈P，b∈Q，则有（　　）
A.a＋b∈P
B.a＋b∈Q
C.a＋b∈R
D.a＋b不属于P、Q、R中的任意一个
【答案】B
【解析】由P＝{x|x＝2k，k∈Z}可知P表示偶数集；
由Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}可知Q表示奇数集；
由R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}可知R表示所有被4除余1的整数；
当a∈P，b∈Q，则a为偶数，b为奇数，则a＋b一定为奇数，
故选B.
14.若集合A＝{x|0 A.3
B.4
C.1
D.2
【答案】B
【解析】A＝{x|0 B＝{1,2,3,6}，
∵A∩B＝B，
∴B＝中元素的个数为4.
15.定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素数字之和为（　　）
A.7
B.9
C.5
D.6
【答案】A
【解析】∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，
∴A*B＝{1,2,4}，则A*B中的所有元素数字之和为1＋2＋4＝7，故选A.
16.（1）设A表示集合{2,3，a2＋2a－3），B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5∉B，求实数a的值；
（2）已知集合A＝{（x，y）|2x－y＋m>0}，B＝{（x，y）|x＋y－n≤0}，若（2,3）∈A，且（2,3）∉B，试求m，n的取值范围.
【答案】（1）∵5∈A，且5∉B，∴
即解得a＝－4.
（2）∵（2,3）∈A，∴2×2－3＋m>0，∴m>－1.
∵（2,3）∉B，∴2＋3－n>0，∴n<5.
∴所求m，n的取值范围分别是{m|m>－1}，{n|n<5}.
17.已知集合S中的元素是正整数，且满足命题“如果x∈S，则（6－x）∈S”时回答下列问题：
（1）试写出元素个数为2的全部集合S；
（2）试写出满足条件的全部集合S.
【答案】（1）∵S中有两个元素，且x∈S,6－x∈S，
∴这两个元素的和为6，
∴S可能为{1,5}，{2,4}.
（2）当6－x＝x时，x＝3，
∴S可能为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,5,3}，{2,4,3}，{1,5,2,4}，{1,5,2,4,3}.

题组4 常用的数集及表示
18.下列关系中正确的个数为（　　）
①∈R；②0∈N*；③{－5}⊆Z.
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】①③正确.
19.下列四个说法中正确的个数是（　　）
①集合N中的最小数为1；
②若a∈N，则－a∉N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；
④所有小的正数组成一个集合；
⑤π∈Q；
⑥0∉N；
⑦－3∈Z；
⑧∈R.
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】①错，因为N中最小数是0；②错，因为0∈N，而－0∈N；③错，当a＝1，b＝0时，a＋b＝1；④错，小的正数是不确定的；⑤错，因为π不是有理数；⑥错，因为0是自然数；⑦正确，因为－3是整数；⑧正确，因为是实数.

题组5 用列举法表示集合
20.用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N*}为（　　）
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
【答案】B
【解析】∵x－2<3，∴x<5.
又x∈N*，∴x＝1,2,3,4，故选B.
21.方程组的解构成的集合是（　　）
A.{（1,1）}
B.{1,1}
C.（1,1）
D.{1}
【答案】A
【解析】由得
即方程组的解构成的集合为{（1,1）}，
故选A.
22.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（　　）
A.{x|x＝4k－1，k∈Z}
B.{x|x＝2k－1，k∈Z}
C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}
【答案】A
题组6 用描述法表示集合
23.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（　　）
A.{x|x＝4k－1，k∈Z}
B.{x|x＝2k－1，k∈Z}
C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}
【答案】A
24.用描述法表示一元二次方程的全体，应是（　　）
A.{x|ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R}
B.{x|ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R，且a≠0}
C.{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R}
D.{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R，且a≠0}
【答案】D
【解析】∵一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R，且a≠0.
则描述法表示一元二次方程的全体构成的集合为：{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R，且a≠0}.
故选D.
25.集合{（x，y）|y＝2x－1}表示（　　）
A.方程y＝2x－1
B.点（x，y）
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
【答案】D
【解析】集合{（x，y）|y＝2x－1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y＝2x－1}表示函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.
故选D.
26.第一象限的点组成的集合可以表示为（　　）
A.{（x，y）|xy>0}
B.{（x，y）|xy≥0}
C.{（x，y）|x>0且y>0}
D.{（x，y）|x>0或y>0}
【答案】C
27.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2 016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”.
其中，正确结论的个数是（　　）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】由于[k]＝，
对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5（n1－n2）能被5整除，∴a－b∈[0]，
∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5（m＋n）＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个.
28.已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是（　　）
A.x0∈N
B.x0∉N
C.x0∈N或x0∉N
D.不能确定
【答案】A
【解析】M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，
∵2k＋1（k∈Z）是一个奇数，k＋2（k∈Z）是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N，
故选A.

题组7 集合的表示综合
29.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（　　）
A.18
B.17
C.16
D.15
【答案】B
【解析】因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对（a，b），所以集合M中的元素共有17个，故选B.
30.用另一种方法表示下列集合.
（1）{绝对值不大于2的整数}；
（2）{能被3整除，且小于10的正数}；
（3）{x|x＝|x|，x<5且x∈Z}；
（4）{（x，y）|x＋y＝6，x，y均为正整数}；
（5）{－3，－1,1,3,5}.
【答案】（1）{－2，－1,0,1,2}；
（2）{3,6,9}；
（3）{0,1,2,3,4}；
（4）{（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）}；
（5）{x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}.