专题19 函数的单调性、奇偶性、最值问题-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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专题19 函数的单调性、奇偶性、最值问题1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（　　）A.f（－5）>f（3）B.f（－5）<f（3）C.f（－3）>f（－5）D.f（－3）<f（－5）2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（　　）A.f（－x1）>f（－x2）B.f（－x1）＝f（－x2）C.f（－x1）<f（－x2）D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（　　）A.10B.－6C.8D.94.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若a>0，则不等式f（f（x））>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f（f（x0））>x0成立；③方程f（f（x））＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f（f（x））<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是（　　）A.1B.2C.3D.45.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________.（2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.6.设定义在（－1,1）上的奇函数f（x）在[0,1）上单调递增，且有f（1－m）＋f＜0，求实数m的取值范围.     7.已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x2＋2x.（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.       8.定义在R上的函数y＝f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a＋b）＝f（a）f（b）.（1）求证：f（0）＝1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）>0；（3）求证：f（x）是R上的增函数.    9.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y>0，满足f（）＝f（x）－f（y）.（1）求f（1）的值；（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）<2.       10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0.（1）求f（1）的值；（2）求证f＝f（m）－f（n）；（3）求证f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（4）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2；（5）比较f的大小.           11.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）成立.（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）若f（8）＝4，求f（－）的值.   12.已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）.（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论.    13.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，又f（1）＝－2.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求f（x）在区间[－3,3]上的值域；（4）若对任意x∈R，不等式f（ax2）－2f（x）<f（x）＋4恒成立，求a的取值范围.  14.设f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－）<f（x－）；（3）如果g（x）＝f（x－c）和h（x）＝f（x－c2）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围.  15.已知函数f（x）是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]有>0.（1）判断函数的单调性（不要求证明）；（2）解不等式f<f（1－x）；（3）若f（x）≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围.    16.已知函数f（x）＝x－.（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围.   17.已知函数f（x）＝x2＋2.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（3）求函数f（x）在区间（－1,2]上的最大值和最小值. 18.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b均为实数），x∈R，F（x）＝（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn<0，m＋n>0，a>0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）是否大于零，并说明理由.  19.已知函数f（x）＝－（常数a>0）.（1）设m·n>0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0<m<n，且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值.    20.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－x2＋ax.（1）若a＝－2，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，①求a的取值范围；②若对任意实数m，f（m－1）＋f（m2＋t）<0恒成立，求实数t的取值范围.    21.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[－1,1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.   22.已知f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立.（1）判断f（x）在[－1,1]上的单调性；（2）解不等式f（x＋）<f（）；（3）若f（x）≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围.