专题22 指数函数的概念-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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专题22 指数函数的概念题组1 指数函数的概念1.下列函数中，是指数函数的是(　　)A．y＝2·3xB．y＝3x＋1C．y＝3xD．y＝x3【答案】C【解析】形如y＝ax(a>0，a≠1)的函数为指数函数，y＝2·3x的3x系数不为1，y＝3x＋1的指数不是x，y＝x2是幂函数，只有y＝3x符合指数函数定义．故选C.2.下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　　)A．y＝(－5)xB．y＝ex(e≈2.71828)C．y＝－5xD．y＝πx＋2【答案】B3.函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，则有(　　)A．a＝1或a＝4B．a＝1C．a＝4D．a>0，且a≠1【答案】C【解析】∵函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，∴解得a＝4.故选C.4.若函数f(x)＝(a－3)·ax是指数函数，则f(2)的值为(　　)A．4B．8C．2D．16【答案】D【解析】∵函数f(x)是指数函数，∴a－3＝1，∴a＝4.∴f(x)＝4x，f(2)＝42＝16.5.函数y＝(m－2)x是指数函数，则m的取值范围是________．【答案】m>2且m≠3【解析】根据指数函数的定义，y＝ax中的底数a规定a>0且a≠1.故此m－2>0且m－2≠1.所以m>2且m≠3.题组2待定系数法求指数函数解析式6.指数函数y＝ax的图象经过点(2，16)，则a的值是(　　)A．B．C．2D．4【答案】D【解析】指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，将(2，16)代入，得16＝a2，解得a＝4，所以y＝4x，故选D.7.已知指数函数的图象经过点(－1，2)，则指数函数的解析式为________．【答案】y＝()x【解析】设指数函数的解析为：y＝ax(a>0，且a≠1)，∵函数的图象经过(－1，2)点，∴2＝a－1，∴a＝，∴指数函数的解析式为y＝()x，故答案为y＝()x.8.已知f(x)是指数函数，且f(1＋)·f(1－)＝9，则f(2＋)·f(2－)的值为________．【答案】81【解析】∵f(x)是指数函数，∴设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，∵f(1＋)·f(1－)＝9，∴·＝a2＝9，即a＝3.∴f(2＋)·f(2－)＝·＝34＝81，故答案为81.9.若指数函数f(x)的图象过点(1，)，则f(－2)＝________.【答案】4【解析】设指数函数为f(x)＝ax(a>0且a≠1)，将(1，)代入得＝a1，解得a＝，所以f(x)＝()x，则f(－2)＝()－2＝4.故答案为4.题组3指数函数的求值10.已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(3，8)，则a2.5与a2.3的大小为(　　)A．a2.5＝a2.3B．a2.5<a2.3C．a2.5>a2.3D．无法确定【答案】C【解析】∵指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(3，8)，∴a3＝8，解得a＝2.∴f(x)＝2x，且在R上单调递增，∴22.3<22.5.故选C.11.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于(　　)A．5B．7C．9D．11【答案】B【解析】由f(a)＝3，得2a＋2－a＝3，两边平方得，22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，∴f(2a)＝7.选B项．12.已知函数f(x)＝则f[f(－4)]等于(　　)A．－4B．－C．4D．6【答案】C【解析】f[f(－4)]＝f[()－4]＝f(16)＝＝4.13.给出函数f(x)＝，则f(－1)＝________.【答案】9【解析】f(－1)＝f(1)＝f(3)＝32＝9.14.若f(2x－1)＝3x－2x，则f(4)＝________.【答案】21【解析】令2x－1＝4，得x＝3，将其代入f(2x－1)＝3x－2x，得f(4)＝33－2×3＝21.题组4指数函数的实际应用15.设f(x)＝则f(f(－2))等于(　　)A．－1B．C．D．【答案】C【解析】因为f(－2)＝2－2＝，所以f(f(－2))＝f()＝1－＝1－＝，故答案选C.16.某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)A．640B．1280C．2560D．5120【答案】B【解析】设原来的细菌数为a.由题意可得，在函数y＝10ekt中，当t＝1时，y＝2a.∴2a＝10ek即ek＝.当a＝10时，ek＝2，y＝10ekt＝10·2t，若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×27＝1280，故选B.17.某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b，2009年该市生活垃圾量为a吨，由此可以预测2019年垃圾量为(　　)A．a(1＋10b)吨B．a(1＋9b)吨C．a(1＋b)10吨D．a(1＋b)9吨【答案】C【解析】2009年该市生活垃圾量为a吨，所以2010年产生的垃圾量是a(1＋b)吨，2011年产生的垃圾量是a(1＋b)(1＋b)＝a(1＋b)2吨，…由此可以预测2019年垃圾量为a(1＋b)10吨．故选C.18.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其它20台未感染病毒的计算机．现有一台计算机被第一轮病毒感染，问被第4轮病毒感染的计算机有(　　)台．A．60B．400C．8000D．160000【答案】C【解析】由题意可得，每一轮感染的计算机数量构成以1为首项，以20为公比的等比数列，故第4轮病毒感染的计算机数量为1×203＝8000台，故选C.19.一种产品的成本是a元，在今后的n年内，计划成本每年比上一年降低p%，则成本随着年数变化的函数关系式是(　　)A．a(1－p%)n(n∈N*)B．a(p%)n(n∈N*)C．a(1－p)n%(n∈N*)D．a(1－np%)(n∈N*)【答案】A【解析】设成本经过x年降低到y元，第一年为y＝a(1－p%)，第二年为y＝a(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)2，第三年为y＝a(1－p%)(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)3，…则随着年数n变化的函数关系式是y＝a(1－p%)n(n∈N*)．故选A.20.据报道，全球变暖，使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此规律，设2000年的冬季冰盖面积为m，从2000年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是(　　)A．y＝·mB．y＝(1－)·mC．y＝0.9550·x·mD．y＝(1－0.0550·x)·m【答案】A【解析】设北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率为p，则p50＝0.95，∴p＝，∴设2000年的冬季冰盖面积为m，从2000年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是：y＝·m.故选A.21.某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k·at(t≥1，a>0，k，a是常数)的图象．(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2(μg)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？(精确到0.1μg)【答案】(1)当0≤t<1时，y＝8t；当t≥1时，把A(1，8)、B(7，1)代入y＝kat，得解得故y＝(2)设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则解得t＝5，即第一次服药后5h服第二次药，也即上午11：00服药．(3)第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：y1＝8()8＝μg，含第二次服药量为：y2＝8()3＝4μg，所以此时两次服药剩余的量为＋4≈4.7μg，故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg.