专题23 指数函数的图像和性质-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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专题23指数函数的图像和性质
题组1指数函数的图象与性质
1.指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系内的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是(　　)

A．b B．a C．b D．b 【答案】A
【解析】作直线x＝1与各图象相交，交点的纵坐标即为底数，故从下到上依次增大．
所以b 故选A.
2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由1>n>m>0可知①②应为两条递减指数函数曲线，故只可能是选项C或D，进而再判断①②与n和m的对应关系，不妨选择特殊点，令x＝1，则①②对应的函数值分别为m和n，由m 故选C.
3.函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.
当0 4.把函数y＝f(x)的图象向左，向下分别平移2个单位，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝2x＋2＋2
B．f(x)＝2x＋2－2
C．f(x)＝2x－2＋2
D．f(x)＝2x－2－2
【答案】C
【解析】y＝2x向上，向右分别平移2个单位得f(x)的图象，所以f(x)＝2x－2＋2.
5.若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A．(0，1)∪(1，＋∞)
B．(0，1)
C．(1，＋∞)
D．(0，)
【答案】D
【解析】方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0 ②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．

综上，0 6.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)若af(c)，求证：2a＋2c<4.
【答案】(1)f(x)＝其图象如图所示．

(2)证明　由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，所以2a＋2c<4.
综上知，总有2a＋2c<4.
题组2指数函数的定义域
7.已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是(　　)
A．(0，1)
B．(2，4)
C．(，1)
D．(1，2)
【答案】A
【解析】根据题意可知1<2x<2，则0 8.函数y＝的定义域是________．
【答案】(－∞，]
【解析】要使函数y＝有意义，则必须()3x－1－≥0，即()3x－1≥()3，
∴3x－1≤3，解得x≤.
∴函数y＝的定义域是(－∞，]．
故答案为(－∞，]．
题组3指数函数的值域
9.函数y＝的值域为________．
【答案】[0，4)
【解析】∵2x>0，∴0≤16－2x<16，
则0≤<4，
故函数y＝的值域为[0，4)．
10.当x∈[0，1]时，函数f(x)＝3x＋2的值域为________．
【答案】[3，5]
【解析】因为指数函数y＝3x在区间[0，1]上是增函数，
所以30≤3x≤31，即1≤3x≤3，
于是1＋2≤3x＋2≤3＋2，即3≤f(x)≤5.
题组4指数函数的性质
11.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
【答案】B
【解析】因为f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.
12.关于指数函数，有下列几个命题：
①指数函数的定义域为(0，＋∞)；
②指数函数的值域是不包括1的；
③指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称；
④指数函数都是单调函数．
其中正确的命题有________(填写正确命题的序号)．
【答案】③④
【解析】①指数函数的定义域为R，故①错误；
②指数函数的值域是(0，＋∞)，故②错误；
③∵f(x)＝()x＝2－x，∴指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称，故③正确；
④当a>1时，y＝ax是增函数；当0 故答案为③④.
13.指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)对于任意的x1、x2∈R，都有f(x1)f(x2)________f(x1＋x2)．(填“>”，“<”或“＝”)
【答案】＝
【解析】∵对于指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，
任意取x1、x2∈R，有f(x1)f(x2)＝＝＝f(x1＋x2)．故答案为＝.
题组5 指数幂的大小比较
14.a＝与b＝()5的大小关系是(　　)
A．a>b
B．a C．a＝b
D．大小关系不定
【答案】A
【解析】考察函数y＝()x与y＝()x知，前者是一个增函数，后者是一个减函数，
∴>()0＝1，()5<()0＝1，
∴>()5，即a>b，
故选A.
15.设<()b<()a<1，那么(　　)
A．aa B．aa C．ab D．ab 【答案】C
【解析】∵<()b<()a<1，且y＝()x在R上是减函数．
∴0 ∴指数函数y＝ax在R上是减函数，
∴ab ∴幂函数y＝xa在R上是增函数，
∴aa ∴ab 16.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有(　　)
A．f() B．f() C．f() D．f() 【答案】B
【解析】∵y＝f(x＋1)是偶函数，
故函数的图象关于直线x＝1对称，
则f()＝f()，f()＝f()，
又∵当x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，且<<，
故f() 即f() 故选B.

题组6 指数方程的解法
17.集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N等于(　　)
A．{0，1，2}
B．{0，1，3}
C．{0，2，3}
D．{1，2，3}
【答案】D
【解析】因为2是它们的公共元素，所以2a＝2，a＝1，b＝2，因此M∪N＝{1，2，3}，选D.
18.方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝________.
【答案】(3，0)，(2，2)
【解析】方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13变形为3n(2m－3)＋2m＝13.(*)
∵m，n为非负整数，
∴当m＝0，1时，经验证无解，应舍去．
当m＝2时，(*)化为3n＋22＝13，解得n＝2.此时方程的非负整数解为(2，2)．
当m＝3时，(*)化为5·3n＋23＝13，
即3n＝1，解得n＝0.
当m≥4时，2m－3≥13，左边>右边，(*)无非负整数解．
综上可知：方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝(3，0)，(2，2)．
故答案为(3，0)，(2，2)．
19.若方程()x＋()x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－3，0)
【解析】令()x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0，1)．
方程转化为t2＋2t＋a＝0，∴a＝1－(t＋1)2.
∵t∈(0，1)，∴a∈(－3，0)．
题组7 指数不等式的解法
20.已知不等式为≤3x<27，则x的取值范围(　　)
A．－≤x<3
B．≤x<3
C．R
D．≤x<
【答案】A
【解析】由题意可得≤3x≤33，再根据函数y＝3x在R上是增函数，可得－≤x<3，故选A.
21.已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　　)
A．a>0
B．a>1
C．a<1
D．0 【答案】D
【解析】∵f(－2)＝a2，f(－3)＝a3.
f(－2)>f(－3)，即a2>a3，
故0 22.不等式<2－2x的解集是________．
【答案】{x|x>3，或x<－1}
【解析】原不等式化为<()2x，
又y＝()x为减函数，故x2－3>2x，
解得{x|x>3，或x<－1}．
题组8 指数函数的单调性
23.函数y＝的递减区间为(　　)
A．(－∞，－3]
B．[－3，＋∞)
C．(－∞，3]
D．[3，＋∞)
【答案】B
【解析】设u＝(x＋3)2，y＝()u，
∵u＝(x＋3)2在(－∞，－3]上递减，在[－3，＋∞)上递增，
而y＝()u在R上递减，
∴y＝在[－3，＋∞)上递减．
24.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，)
D．(－，)
【答案】B
【解析】由题意知函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，
所以底数1－2a>1，解得a<0.
25.已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1)
B．(7，8)
C．[7，8)
D．(4，8)
【答案】D
【解析】因为函数f(n)＝是增函数，所以解得4 26.函数y＝的递增区间是________．
【答案】[2，＋∞)
【解析】函数y＝的单调递增区间即为y＝x2－4x＋3的单调递增区间，
∵y＝x2－4x＋3的单调递增区间为[2，＋∞)，
故答案为[2，＋∞)．
27.已知函数f(x)＝.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
【答案】(1)a＝1，得f(x)＝，
∵∈(0，1)，∴f(x)的外层函数是一个递减的指数函数；
令t＝x2－4x＋3，则其减区间为(－∞，2)，增区间为(2，＋∞)．
∴f(x)的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)
(2)∵f(x)有最大值为3，∈(0，1)，函数t＝ax2－4x＋3有最小值－1，
∴函数t＝ax2－4x＋3在区间(－∞，)上是减函数，在区间(，＋∞)上是增函数
由此可得，a>0且f()＝＝3，得－＋3＝－1，解之得a＝1.
综上所述，当f(x)有最大值3时，a的值为1.
题组9 指数函数的最值
28.已知函数y＝ax(a>1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为(　　)
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】y＝ax(a>1)在[1，2]上是增函数，最大值为a2，最小值为a1，所以a2－a1＝2，
解得a＝2或a＝－1(舍)．
29.已知函数y＝9x－2·3x－1，求该函数在区间x∈[－1，1]上的最大值和最小值．
【答案】令3x＝t，
∵－1≤x≤1，∴≤t≤3，
∴y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2(其中≤t≤3)．
∴当t＝1时(即x＝0时)，y取得最小值－2，当t＝3时(即x＝1时)，y取得最大值2.
30.已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]．
(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的最大值与最小值．
【答案】(1)∵t＝3x在[－1，2]是单调增函数，
∴tmax＝32＝9，tmin＝3－1＝.
(2)令t＝3x，∵x∈[－1，2]，∴t∈[，9]，
原方程变为：f(x)＝t2－2t＋4，
∴f(x)＝(t－1)2＋3，t∈[，9]，
∴当t＝1时，此时x＝0，f(x)min＝3，
当t＝9时，此时x＝2，f(x)max＝67.
题组10 与指数函数相关的函数的奇偶性
31.函数y＝的图象(　　)
A．关于原点对称
B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
【答案】A
【解析】设函数y＝f(x)＝，则此函数的定义域为R.
f(－x)＝＝＝－f(x)，
故函数是奇函数，故它的图象关于原点O对称，
故选A.
32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于(　　)
A．2
B．
C．
D．a2
【答案】B
【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①
得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.
33.函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．
【答案】(1)由已知得∴k＝1，a＝，
∴f(x)＝2x.
(2)函数g(x)为奇函数．
证明：g(x)＝，其定义域为R，
又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，
∴函数g(x)为奇函数．