专题24 指数函数的图像和性质（二）-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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专题24 指数函数的图像和性质（二）题组1 指数幂的大小比较1.设它们的大小关系是（    ）A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a【答案】D【解析】y=在（0，+∞）上是增函数，而 ，由，可知c<b<a ,故选D.2.已知实数x,y满足,则下列关系式中恒成立的是(    )A. B. C. D.【答案】B【解析】由以及指数函数为减函数，可得，对于，当时，不成立，故不正确；对于，根据指数函数为上的增函数可知，恒成立，故正确；对于，当时，不成立，故不正确；对于，当或为负数时，或无意义，所以不正确，故选：B3.设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝，则的大小关系是(　　)A.B.C.. D.. 【答案】A【解析】函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函数关于x＝1对称.所以f＝f，f＝f，当x≥1时，f(x)＝x－1单调递减，所以由＜＜，可得f＞f＞f，即f＞f＞f，故选A4.设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则y1，y2，y3的大小关系为__________________.【答案】y1＞y3＞y2【解析】，且在定义域内是增函数，而，，即，故答案为. 题组2 指数方程的解法5.若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为（    ）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】函数在上：当时，单调递减：最大值为，最小值，即有；当时，单调递增：最大值为，最小值，即有；综上，有或；故选：D6.函数（且）的图象一定经过的点是（    ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数解析式，知：当时，，即函数必过，故选：D.7.函数在的最小值是（    ）A.1 B. C. D.3【答案】C【解析】由题意，函数，设，因为，则，则函数，当时，取得最小值.故选：C.8.已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：①；②；③；④.上述结论中正确结论的序号是___________.【答案】①④【解析】点在函数（且）图象上，即，，，∵对于函数定义域中的任意的，有∴结论（1）正确；又，，，∴结论（2）错误；又是定义域上的增函数，∴对任意的，不妨设，则，，，，∴结论（3）错误；又，，，∴结论（4）正确；故答案为：（1），（4）. 题组3 指数不等式的解法9.若函数为增函数，则实数的取值范围是（    ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数为增函数，可得，解得. 即实数的取值范围是.故选：A10.已知定义域为的函数是奇函数，则不等式解集为（    ）A. B. C. D.【答案】A【解析】若函数是奇函数，则， ，所以， ，当时，，，所以函数是单调递减函数，，即，解得: ,解集是.故选：A11.已知，，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由条件知，而，，，由分母递增知递减，，所以.故答案为：.12.定义在上的奇函数，已知当时，.（1）求在上的解析式；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，所以，解得，所以时，.当时，，所以，又，所以，，所以在上的解析式为.（2）由（1）知，时，，所以可化为，整理得，令，根据指数函数单调性可得，与都是减函数，所以也是减函数.因为时，不等式恒成立，等价于在上恒成立，所以，只需，所以实数的取值范围是.题组4 指数函数的单调性13.下列函数中，图象关于原点中心对称且在定义域上为增函数的是（    ）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，函数在定义域上没有单调性，不满足题意；对于B，函数不是奇函数，它的图象一定不关于原点对称，不满足题意；对于C，函数在定义域上是单调增函数，且是奇函数，它的图象关于原点对称，满足条件；对于D，函数是奇函数，它的图象关于原点对称，但在定义域上是单调减函数，不满足条件.故选：C.14.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】函数是上的增函数，函数，解得.故答案为：15.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（），则a的取值范围是______.【答案】【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得.16.已知是上的奇函数，当时，.（1）求在上的解析式；（2）证明在上是减函数；（3）当且为常数时，求关于的不等式在内的解集.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）设，则，所以，又因为是上的奇函数，所以.（2）设，则，，.∵是增函数，，∴，∴，，.又，∴，所以在为减函数.（3）因为在上递减，所以，当时，，在上有且只有一个实根，此时，.又，∴，∴不等式的解集为.题组5 指数函数的最值17.已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)A. B. C. D.【答案】A【解析】因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，所以a＝2，b＝1，此时g(x)＝2|x＋1|＝此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到.结合指数函数的图象及选项可知A正确.故选A.18.已知函数（1）若，求函数的单调区间（2）若有最大值3，求a的值（3）若的值域是，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；；（2）1；（3）0.【解析】当时，，令，则在上单调递增，在上单调递减，而在R上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，   即函数的单调增区间是，单调减区间是；令，，由于有最大值3，所以有最小值，因此必有，解得，即当有最大值3时，实数a的值为1；在（2）基础上，由指数函数的性质知，要使的值域为，应使的值域为R，因为二次函数的值域不可能为R，所以.19.设函数（且）是定义域为的奇函数.（1）若，试求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，整理得，由题意可知，等式对任意的恒成立，，解得.（1），，又且，，由于函数在上为增函数，函数在上为减函数.所以，函数为上的增函数，由可得，，即，解得或.因此，原不等式的解集为；（2），整理得，且，解得.，令，.由于在上为增函数，所以，，所以，当时，，即函数有最小值.20.设函数，其中.（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3），，解关于x的不等式.【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.【解析】（1），所以，所以，检验，此时，，所以，为偶函数；（2），令，则在上有最小值，所以，得；（3），所以，所以，因为，，所以.①，即，解集为R；②，即，解集为.题组6 与指数函数相关的函数的奇偶性21.已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(    )A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知，时，，则，因为是上的奇函数，所以，所以当时，.因为函数为上的减函数，所以为上的增函数，故为上的增函数，由，可得，即对任意恒成立，当时，不等式可化为，显然不符合题意，所以，可得，解得.故选：A.22.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则=A. B.C. D.【答案】B【解析】由偶函数f（x）满足（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=，则f（x-2）=f（|x-2|）=，要使f（|x-2|）＞0，只需＞0，|x-2|＞2，解得x＞4，或x＜0，故选B23.已知函数f（x）=loga（2+x），g（x）=loga（2-x），（其中a＞0且a≠1），则函数F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x）的奇偶性是（　　）A.是奇函数，是奇函数 B.是偶函数，是奇函数C.是偶函数，是偶函数 D.是奇函数，是偶函数【答案】B【解析】F（x）、G（x）的定义域为（-2，2），
∵，，
∴F（x）是偶函数，G（x）时奇函数.
故选B.24.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______.【答案】2【解析】f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，∵f(x)-g(x)=x3+x2+2，∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=-1+1+2=2.故答案为：225.已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式.（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最大值.【答案】（1）；（2）0.【解析】（1）∵为定义在上的奇函数，且在处有意义，∴，即.∴.设，则，∴；又∵，∴；所以.（2）当时，，∴设，则.∵，∴.当时，取最大值，最大值为.26.已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数).（1）判断函数f(x)的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切的x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.【答案】（1）f(x)是增函数，奇函数；（2）存在，t＝－.【解析】（1）∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函数，y＝－x是增函数，所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.（2）由（1）知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立，即 f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立，即x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立，所以，t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立，即存在实数使得2≤ 恒成立所以存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立.27.已知函数，且.（1）求的值，并指出函数在上的单调性（只需写出结论即可）；（2）证明：函数是奇函数；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）2，在上为增函数；（2）证明见解析；（3）（，1）.【解析】（1）因为，所以，即，因为，所以.函数在上为增函数.（2）由（1）知定义域为.对任意，都有.所以函数是奇函数，（3）不等式等价于，因为函数是奇函数，所以，又因为函数在上为增函数，所以，即.解得.所以实数的取值范围为（，1）.