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专题26 对数函数-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破(人教A版2019必修第一册)
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专题26 对数函数题组1 对数函数的概念1.给出下列函数:①y= x2;②y=log3(x-1);③y=log(x+1)x;④y=logπx.其中是对数函数的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】①②不是对数函数,因为对数的真数不是只含有自变量;③不是对数函数,因为对数的底数不是常数;④是对数函数.故选2.下列函数,是对数函数的是( )A.y=lg10x B.y=log3x2C.y=lnx D.y=log(x–1)【答案】C【解析】由对数函数的定义,形如y=logax(a>0,a≠1)的函数是对数函数,由此得到:y=lg10x=x,y==2、y=都不是对数函数,只有y=lnx是对数函数.故选C.3.下列各函数中,表示同一函数的是( )A.与y=x+1 B.y=x与(a>0且a≠1)C.与y=x﹣1 D.y=lgx与【答案】B【解析】对于选项A:函数的定义域不包含1,而一次函数y=x+1的定义域是R,显然不是同一个函数.对于选项B:因为=xlogaa=x,且定义域都为R,所以为同一个函数.对于选项C:函数=|x|﹣1与一次函数y=x﹣1的对应法则不同,故不是同一个函数.对于选项D:函数y=lgx的定义域为x>0,而函数y=lgx2的定义域是x≠0,显然不是同一个函数.故选B.题组2 对数函数的定义域4.函数y=1g(1-x)+的定义域是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】要使原函数有意义,则:
解得-1≤x<1;
∴原函数的定义域是[-1,1).
故选B.5.已知函数y=f(x+1)的定义域为[-2,6],则函数y=f(3-4x)的定义域是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数y=f(x+1)的定义域为[-2,6], 即-2≤x≤6,得-1≤x+1≤7, ∴f(x)的定义域为[-1,7], 由-1≤3-4x≤7,可得-1≤x≤1. ∴函数y=f(3-4x)的定义域是[-1,1]. 故选:A.6.函数y=的定义域是( )A.(1,2] B.(1,2) C.(2,+∞) D.(﹣∞,2)【答案】B【解析】∵log2(x﹣1),∴x﹣1>0,x>1根据,得出x≤2,又在分母上不等于0,即x≠2∴函数y=的定义域是(1,2)故选B.7.函数y=+lg(2-x)的定义域是( )A.(1,2) B.[1,4] C.(1,2] D.[1,2)【答案】D【解析】由得,由得,两部分取交集为.8.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),已知f(x+1)是偶函数,(x-1)f′(x)<0.若x1<x2,且x1+x2>2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)>f(x2) D.不确定【答案】C【解析】由(x-1)f′(x)<0可知,当x>1时,f′(x)<0,函数递减.当x<1时,f′(x)>0,函数递增;因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x),即函数的对称轴为x=1.所以若1<x1<x2,则f(x1)>f(x2).若x1<1,则x2>2-x1>1,此时由f(x2)<f(2-x1),即f(x2)<f(2-x1)=f(x1),综上f(x1)>f(x2)9.已知全集U=R,集合∁UA={x|0≤x≤4},B={x|x>2},则A∪B=( )A.{x|x>2} B.{x|2<x≤4} C.R D.{x|x<0或x>2}【答案】D【解析】∵∁UA={x|0≤x≤4},∴A={x|x<0,或x>4}.∴A∪B={x|x<0,或x>4}∪{x>2}={x|x<0,或x>2}.选D10.函数f(x)=+log2(2sin x-1)的定义域是________.【答案】【解析】由题意,得由①得-8≤x≤8,由②得sin x>,由正弦曲线得+2kπ<x<+2kπ(k∈Z).所以不等式组的解集为11.设函数f(x)=-x+2,则满足f(x-1)+f(2x)>0的x的取值范围是______.【答案】【解析】根据题意,函数,则,若,即,解可得:,即的取值范围为;故答案为:.12.已知全集U=R,集合A={x|x<a},B═{x|-1<x<2},且A∪∁UB=R,则实数a的取值范围是______.【答案】a≥2【解析】∵全集U=R,B={x|-1<x<2}, ∴∁UB={x|x≤-1或x≥2}, ∵A={x|x<a},A∪(∁UB)=R, ∴a≥2, 则a的取值范围为a≥2. 故答案为:a≥2题组3 对数函数的实际应用13.某种动物繁殖数量 y(只)与时间x(年)的关系为 y=alog2(x+1),设这种动物第1年有100只,则到第7年它们发展到( )A.300只 B.400只C.500只 D.600只【答案】A【解析】由题意,繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),这种动物第1年有100只
∴100=alog2(1+1),
∴a=100,
∴y=100log2(x+1),
∴当x=7时,y=100 log2(7+1)=100×3=300.
故选A.14.一个容器装有细沙,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出, 后剩余的细沙量为,经过后发现容器内还有一半的沙子,则再经过( ),容器中的沙子只有开始时的八分之一.A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意有= ,即 ,两边取对数得 当容器中只有开始时的八分之一,则有 两边取对数得,所以再经过的时间为24-8=16.故选B.15.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为的声波,其音量的大小可由如下公式计算:(其中是人耳能听到的声音的最低声波强度),则dB的声音强度是dB的声音强度的( )A.倍 B.倍 C.10倍 D.倍【答案】C【解析】解:由题意,令,解得,,令,解得,,所以故选:C.16.对于任意实数,符号表示的整数部分,即是不超过的最大整数,例如;;则的值为( )A.42 B.43 C.44 D.45【答案】D【解析】由题意可知:,,,个1,18个.故选:.17.已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减,现给某病人静脉注射了该药物2500mg,设经过x个小时后,药物在病人血液中的量为ymg.与x的关系式为______;当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上,才有疗效;而低于500mg,病人就有危险,要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过______小时精确到.参考数据:,,,【答案】 【解析】由题意知,该种药物在血液中以每小时的比例衰减,给某病人注射了该药物2500mg,经过x个小时后,药物在病人血液中的量为,即y与x的关系式为;当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上,才有疗效;而低于500mg,病人就有危险,令,,,是单调减函数,,所以要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过小时.故答案为,.18.2012年9月19日凌晨3时10分,中国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭,以“一箭双星”方式,成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航系统快速组网技术已日臻成熟.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为: (其中k≠0).当燃料重量为吨(e为自然对数的底数,)时,该火箭的最大速度为5km/s. (1)求火箭的最大速度y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式 . (2)已知该火箭的起飞重量是816吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米/秒,顺利地把卫星发送到预定的轨道?【答案】(1) (2) 应装载516吨【解析】(1)依题意,把代入函数关系,解得k=10,所以所求的函数关系式为(2)设应装载x吨燃料方能满足题意, 此时,代入函数关系式,得,解得吨,故应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.专题四 不同函数增长的差异19.图中曲线是对数函数的图象,已知取,,,四个值,则相应于,,,的值依次为 A.,,, B.,,,C.,,, D.,,,【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数的图象,由对数函数的图象和性质,可得,,,的值从小到大依次为:,,,,由取,,,四个值,故,,,的值依次为,,,,故选:.20.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.21.函数的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】当时,,函数有意义,可排除A;当时,,函数无意义,可排除D;又∵当时,函数单调递增,结合对数函数的单调性可得函数单调递增,可排除C;故选B.22.函数的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为,又,所以函数是奇函数,故排除A,C;又因为,故排除D.故选:B23.高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示,现底部有一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为时水的体积为,则函数的大致图像是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意知,函数的自变量为水深,函数值为鱼缸中水的体积,所以当时,体积,所以函数图像过原点,故排除A、C;再根据鱼缸的形状,下边较细,中间较粗,上边较细,所以随着水深的增加,体积的变化速度是先慢后快再慢的,故选B.24.下列散点图中,估计有可能用函数来模拟的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由于函数在定义域内单调递增,且是上凸的,又,所以当时,的图象是单调递增且上凸的.故选:C.25.已知(1)求的定义域;(2)判断的奇偶性并予以证明;(3)求使的的取值范围.【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.【解析】(1)由>0 ,解得x∈(-1,1).(2)f(-x)=loga=-f(x),且x∈(-1,1),∴函数y=f(x)是奇函数.(3)若a>1,f(x)>0,则>1,解得0<x<1;若0<a<1,f(x)>0,则0<<1,解得-1<x<0.26.(1)求满足不等式的的范围.(2)当在(1)中求得的范围内变化时,求函数的最大值和最小值.【答案】(1);(2)..【解析】(1)令,则原不等式可化为,由二次函数图象解得,即.又,,∴,即.(2)将变形为关于的形式:.由(1)知.∴当,即时,;当,即时,.
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