专题33 三角函数的概念-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题33 三角函数的概念

考点1 任意角的三角函数

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，则cosA的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】∵∠C＝90°，a＝4，b＝3，

∴c＝＝5，∴cosA＝＝.

2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据网格特点可知，AC＝4，BC＝3，

由勾股定理得，AB＝＝5，则cosα＝＝.

3.如图，点A为α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠α＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD，

∴∠α＝∠ACD，

∴cosα＝cos∠ACD＝＝＝，

只有选项C错误.

4.角θ的终边过点P（－1,2），则sinθ等于（　　）

A．

B．

C．－

D．－

【答案】B

【解析】由题意可得，x＝－1，y＝2，r＝|OP|＝，

∴sinθ＝＝.

5.已知角α的终边过点P（－3,4），则sinα＋cosα等于（　　）

A．

B．－

C．

D．－

【答案】C

【解析】sinα＝，cosα＝－，故sinα＋cosα＝.

6.已知点P在角的终边上，且|OP|＝4，则P点的坐标为（　　）

A．（－2，－2）

B．（－，－）

C．（－2，－2）

D．（－，－）

【答案】A

【解析】设P点的坐标为（x，y），由三角函数的定义得，

x＝|OP|cos＝4×（－）＝－2，y＝|OP|sin＝4×＝－2.

则P（－2，－2）.

7.已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα＝x，则x等于（　　）

A．

B．±

C．－

D．－

【答案】D

【解析】∵cosα＝＝＝x，

∴x＝0（∵α是第二象限角，舍去）或x＝（舍去）或x＝－.

8.已知角α的终边过点P（－4m,3m）（m＜0），则2sinα＋cosα的值是（　　）

A．1

B．

C．－

D．－1

【答案】C

【解析】∵角α的终边过点P（－4m,3m）（m＜0），

∴r＝|OP|＝＝＝－5m，

则2sinα＋cosα＝2×＋＝－＋＝－.

9.如图，AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，AD＝4，AC＝6，则sin∠EBC＝________.

【答案】

【解析】∵AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，

∴∠BEC＝∠ADC＝90°，

∴∠CBE＝∠DAC，

∵∠ADC＝90°，AD＝4，AC＝6，

∴CD＝＝＝＝2，

∴sin∠DAC＝＝＝，

∴sin∠EBC＝.

10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是______.

【答案】

【解析】在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A＋∠B＝90°，∠BCD＋∠B＝90°.

∴∠A＝∠BCD，

∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝.

11.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.

【答案】2

【解析】∵y＝3x，sinα＜0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，且m＜0，n＜0，n＝3m.∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.

12.已知角α顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边在直线l：2x－y＝0上，且cosα＜0，点P（a，b）是α终边上的一点，且|OP|＝，求a＋b的值.

【答案】∵角α顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边在直线l：2x－y＝0上，且cosα＜0，

∴点P（a，b）在第三象限，a＜0，b＜0，∴tanα＝2，即＝2，又|OP|＝，即a2＋b2＝5，解得a＝－1，b＝－2，

∴a＋b＝－3.

考点2 三角函数值在各象限的符号

13.若角θ同时满足sinθ＜0，且tanθ＜0，则角θ的终边一定落在（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】D

【解析】由sinθ＜0，可知：θ的终边在第三、四象限或终边落在y轴的非正半轴上；由tanθ＜0，可知：θ的终边在第二、四象限.综上可知：角θ的终边一定落在第四象限.

14.若A、B为锐角△ABC的两内角，则点P（sinB－cosA，cosB－sinA）是（　　）

A．第一象限的点

B．第二象限的点

C．第三象限的点

D．第四象限的点

【答案】D

【解析】∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B＞，∴A＞－B，B＞－A，

sinA＞sin（－B）＝cosB，sinB＞sin（－A）＝cosA，

∴sinB－cosA＞0，cosB－sinA＜0，

∴点P（sinB－cosA，cosB－sinA）是第四象限的点.

15.函数y＝的值域是（　　）

A．{3}

B．{3，－1}

C．{3,1，－1}

D．{3,1，－1，－3}

【答案】B

【解析】当x是第一象限角时，sinx＞0，cosx＞0，tanx＞0，

则y＝＝1＋1＋1＝3；

当x是第二象限角时，sinx＞0，cosx＜0，tanx＜0，

则y＝＝1－1－1＝－1；

当x是第三象限角时，sinx＜0，cosx＜0，tanx＞0，

则y＝＝－1－1＋1＝－1；

当x是第四象限角时，sinx＜0，cosx＞0，tanx＜0，

则y＝＝－1＋1－1＝－1；

综上可得，函数y＝的值域是{－1,3}.

考点3诱导公式一

16.点A（sin2011°，cos2011°）在直角坐标平面上位于（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】C

【解析】∵sin2011°＝sin（5×360°＋211°）＝sin211°＜0，

cos2011°＝cos（5×360°＋211°）＝cos211°＜0，

∴横坐标和纵坐标都是负数，

∴对应的点位于第三象限.

17.如果角α的终边经过点P（sin780°，cos（－330°）），则sinα等于（　　）

A．

B．

C．

D．1

【答案】C

【解析】sin780°＝sin（2×360°＋60°）＝sin60°＝，cos（－330°）＝cos（－360°＋30°）＝cos30°＝，

所以点P（，），所以r＝|OP|＝.

由三角函数的定义，得sinα＝＝＝.

18.sin1830°等于（　　）

A．

B．－

C．

D．－

【答案】A

【解析】sin1830°＝sin（30°＋5×360°）＝sin30°＝.

19.求下列各式的值.

（1）cos＋tan；

（2）sin（－1320°）cos1110°＋cos（－1020°）sin750°＋tan495°.

【答案】（1）原式＝cos＋tan＝cos＋tan＝＋1＝.

（2）原式＝sin（－4×360°＋120°）cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°）＋tan（360°＋135°）

＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝×＋×－1＝0.

考点4 单位圆与三角函数线

20.下列说法不正确的是（　　）

A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点

B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在

C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化

D．余弦线和正切线的始点都是原点

【答案】D

【解析】余弦线始点是原点，正切线的始点是点（1,0）.

21.不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是（　　）

A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线

B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条

C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在

D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在

【答案】D

【解析】由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确.

22.函数值tan224°，sin136°，cos310°的大小关系是（　　）

A．cos310°＜sin136°＜tan224°

B．sin136°＜cos310°＜tan224°

C．cos310°＜tan224°＜sin136°

D．tan224°＜sin136°＜cos310°

【答案】A

【解析】tan224°＝tan44°，sin136°＝sin44°，cos310°＝cos50°＝sin40°，

如图∠COF＝44°，CF是44°的正切线，EG是正弦线，OE是余弦线，DI是40°的正弦线，

由图可知CF＞EG＞DI，

所以cos310°＜sin136°＜tan224°.

23.设a＝sin（－1），b＝cos（－1），c＝tan（－1），则有（　　）

A．a＜b＜c

B．b＜a＜c

C．c＜a＜b

D．a＜c＜b

【答案】C

【解析】作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b＝OM＞0，a＝MP＜0，c＝AT＜0，且MP＞AT.∴b＞a＞c，即c＜a＜b.

24.如果MP、OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是（　　）

A．MP＜OM＜0

B．MP＜0＜OM

C．MP＞OM＞0

D．OM＞MP＞0

【答案】D

【解析】如图可知，OM＞MP＞0.

25.如图，、、分别是240°角的正弦线、余弦线、正切线，则其数量一定有（　　）

A．MP＜OM＜AT

B．OM＜MP＜AT

C．AT＜OM＜MP

D．OM＜AT＜MP

【答案】A

【解析】∵、、分别是240°角的正弦线、余弦线、正切线，

∴＝sin240°，＝cos240°，＝tan240°，其数量关系为：MP＜OM＜AT.

26.若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（　　）

A．（－，）

B．（0，）

C．（，2π）

D．（0，）∪（，2π）

【答案】D

【解析】∵0＜α＜2π，sinα＜，

∴0＜α＜或＜α＜2π，①

∵0＜α＜2π，cosα＞，∴0＜α＜或＜α＜2π，②

①②取交集得0＜α＜或＜α＜2π.

27.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合.

（1）sinα≥；（2）cosα≤；（3）|cosα|＞|sinα|.

【答案】（1）由下图知：当sinα≥时，角α满足的集合为.

（2）由下图知：当cosα≤时，角α满足的集合为.

（3）如下图，作出单位圆.所以角α满足的集合为

28.利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围.

（1）sinθ≥；（2）－≤cosθ＜.

【答案】（1）下图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即.

（2）下图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即

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