专题07 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）学案

这是一份专题07 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）学案，共6页。学案主要包含了常数代换法，消元法，配凑法，含变量的不等式恒成立问题等内容，欢迎下载使用。
◎◎◎◎◎◎章末复习◎◎◎◎◎◎1. 知识系统整合 2. 规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．(2)简化假设：精选问题中的关键变量．(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．(4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．3 学科思想培优一、常数代换法【典例1】已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（　　）A．5 B． C． D．2【答案】C【解析】∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2，则2，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：C．二、消元法【典例2】设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z＝0，则的最小值是　　．【答案】3【解析】∵x﹣2y+3z＝0，∴，∴，当且仅当x＝3z时取“＝”．故答案为3．三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．【典例3】设x>0，y>0，x2＋＝1，求的最大值．【解析】∵x>0，y>0，x2与的和为定值，∴＝＝，当且仅当，即时取等号，即的最大值为.【典例4】已知x，y，z为正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋z)的最小值．【解析】由条件得x＋y＋z＝，则(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝y·＋xz＝＋xz≥2，当且仅当＝xz，即xz＝1时取等号，故(x＋y)(y＋z)的最小值为2.【典例5】设a1，a2，a3，…，an均为正实数，求证：≥a1＋a2＋a3＋…＋an.【解析】为了约去中的分母，可考虑配上一项ak＋1，于是有＋a2≥2a1，＋a3≥2a2，…＋an≥2an－1，＋a1≥2an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑．【典例6】设a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，求的最大值．【解析】，.以上三式相加，并利用a＋b＋c＝1，得()≤6，故的最大值为3.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围【典例7】不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．①若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3.当m＝－1时，不符合题意；当m＝3时，符合题意．②若m2－2m－3≠0，设y＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．则m2－2m－3<0，Δ＝b2－4ac＝5m2－14m－3<0，解得－<m<3.故实数m的取值范围是－<m<3.2．求最值【典例8】已知正实数a，b满足a＋2b＋ab＝30，试求实数a，b为何值时，ab取得最大值．【解析】构造关于a的二次方程，应用“判别式法”．设ab＝y，　①由已知得a＋2b＋y＝30.　②由①②消去b，整理得a2＋(y－30)a＋2y＝0，　③对于③，由Δ＝(y－30)2－4×2y≥0，即y2－68y＋900≥0，解得y≤18或y≥50，又y＝ab＜30，故舍去y≥50，得y≤18.把y＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a2－12a＋36＝0，即a＝6，从而b＝3.故当a＝6，b＝3时，ab取得最大值18.3．证明不等式【典例9】已知x，y∈R，证明：2x2＋2xy＋y2－4x＋5>0恒成立．【解析】不等式可变形为y2＋2xy＋2x2－4x＋5>0，将不等式左边看作关于y的二次函数，令z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，则关于y的一元二次方程y2＋2xy＋2x2－4x＋5＝0的根的判别式Δ＝4x2－4(2x2－4x＋5)＝－4(x－2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，其图象开口向上，且在x轴上方，所以z>0恒成立，即2x2＋2xy＋y2－4x＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题【典例10】对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．【解析】原不等式可化为x2＋px－4x－p＋3＞0，令y＝x2＋px－4x－p＋3＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．题设得解得x＞3或x＜－1.故x的取值范围是x<－1或x>3.