第3章专题10 幂函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

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幂函数考向一  幂函数的概念 1、（1）如果幂函数的图象不过原点，则的取值是(　　)A．            B．或C．                D．（2）幂函数的图象经过点，则满足的的值是________.（3）若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________.【答案】（1）B （2） （3）2、在下列函数中，是幂函数的有_______．①，②，③，④．【答案】②3、已知幂函数的图象经过点，则_____________．【答案】 考向二  幂函数的图像 1、（1）已知幂函数在第一象限内的图象如图所示，且分别取，，，，则相应于曲线，，，的的值依次为___________．      (2)幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么，αβ等于__________．【答案】（1）2，1，，；（2）12、函数的图象是（      ）【答案】A3、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　)解析　设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝.所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确.4、当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________．解析：分别作出y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)的图象如图所示，可知h(x)＞g(x)＞f(x)．答案：h(x)＞g(x)＞f(x)  考向三  幂函数的性质1、已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　)A.奇函数            B.偶函数C.定义域内的减函数  D.定义域内的增函数解析由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2且b＝－1.故f(x)＝x－1是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)不是单调函数.答案　A2、已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.解析由题意知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，∴α<0，取α＝－1.答案　－1 3、函数是幂函数且是上的增函数，则的值为(　　) A.              B.        C.        D. 答案：B解析：由题意得 ，选B.备注：需认清幂函数的定义， 其系数必须是，在上，当时，函数递增；当 时函数递减；4、已知幂函数 为奇函数，且在上是减函数，则______________.答案：解析：由函数为幂函数得，，解得．因为函数在上是减函数，所以，解得．又因,所以,所以．同时满足函数为奇函数，所以．备注：需认清幂函数的定义， 其系数必须是1，在上，当时，函数递增；当 时函数递减；并能够分清幂函数的奇偶性。5、已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)A．－3　　　　　　　 　B．1C．2   D．1或2[解析]∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x在(0，＋∞)上是减函数，∴∴n＝1，又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.  考向四  幂函数性质的应用 1、（1）比较下列各组数的大小①和；②和；③和；④，和；⑤，和；（2）已知函数，且，求的取值范围.【答案】（1）①；②；③；④；⑤；（2）2、已知，则三个数由小到大的顺序是_________【答案】 3、已知f(x)＝x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　)A．f(a)<f(b)<f<f          B．f<f<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f<f         D．f<f(a)<f<f(b)【答案】C4、若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A.a<b<c    B.c<a<bC.b<c<a    D.b<a<c解析　因为y＝ 在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝是减函数，所以a＝<c＝，所以b<a<c.答案　D5、若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a<.答案：6、求满足的的取值范围。答案：由，即解得或7、已知幂函数的图象过点，函数是偶函数，且当时，。（1）求, 的解析式；（2）解不等式.答案：（1），（2）解析：（1）设，则，故  ∵时，，∴     ∴（2）易得不等式解集为。