第4章专题4 对数及其运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

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对数及其运算考向一  对数的概念1、指数式 x3=15的对数形式为:(     )A．log 3 15=x    B．log 15 x=3   C．log x 3= 15    D．log x 15= 3【答案】D【解析】因为指数式 x3=15的对数形式为log x 15= 3，所以选D.2、下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.其中正确的是(　　)A．①③    B．②④    C．①②    D．③④【答案】C【解析】因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故①正确；因为ln e＝1，所以ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x＝10，得1010＝x，故x≠100，故③错误；由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．选C.3、在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)A．a>5或a<2    B．2<a<3或3<a<5     C．2<a<5    D．3<a<4【答案】B【解析】由对数的定义知 所以2<a<3或3<a<5.选B.4、下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)(A)e0=1与ln 1=0(B)log39=2与=3(C)=与log8=-(D)log77=1与71=7【答案】B【解析】对于A,e0=1可化为0=loge1=ln 1,所以A正确;对于B,log39=2可化为32=9,所以B不正确;对于C,=可化为log8=-,所以C正确;对于D,log77=1可化为71=7,所以D正确.故选B.5、(1)若e=ln x,则x=　　　　; (2)若lg(ln x)=0,则x=　　　　; (3)若=16,则x=　　　　. 【答案】(1)ee　(2)e　(3)64【解析】(1)因为e=ln x,所以x=ee.(2)因为lg(ln x)=0,所以ln x=100=1.所以x=e1=e.(3)因为=16=24,所以log4x=3.所以x=43=64.6、将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4;  (2)log27＝－3；(3)＝6;  (4)43＝64；(5)3－2＝  (6) ＝16.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）log16＝－2.【解析】（1）∵log216＝4，∴ 。（2）∵log27＝－3，∴。（3）∵＝6，∴。（4）∵43＝64，∴。（5）∵3－2＝，∴。（6）∵＝16，∴log16＝－2。  考向二  对数的加减运算 1、若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是(　　)①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay; ④loga(xy)＝logax·logay.A.0                  B.1               C.2               D.3【答案】A【解析】由对数的运算性质，得到logax•logay≠loga（x+y）； ；loga（xy）=logax+logay．　故选A2、lg8＋3lg5的值为(　　)A.－3 B.－1 C.1 D.3【答案】D【解析】，故选D。3、已知lg2=0.301，lg3=0.477 ,则lg12= (         )A.0.778 B.1.079 C.0.301 D.0.477【答案】B【解析】因为所以选B. 4、化简：(1)；(2)(lg5)2＋lg2lg50＋2.【答案】（1） （2） 【解析】 (1)原式＝＝＝. (2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·＝lg5·(lg5＋lg2)＋lg2＋2＝1＋2.5、若a、b是方程2lg2 x－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)· 的值．【答案】12【解析】原方程可化为2lg2x－4lg x＋1＝0，设t＝lg x，则原方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1t2＝.由已知a，b是原方程的两个根，则t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，lg(ab)· ＝＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12.故lg(ab)·＝12.   考向三  换底公式1、若log34·log8m＝log416，则m等于(　　)A.3 B.9            C.18               D.27【答案】D【解析】原式可化为log8m＝ ， ，即lg m＝，lg m＝lg 27，m＝27.故选D. 2、 　　　　【答案】【解析】原式


.3、已知 ，用 表示 =　　　　．【答案】【解析】，
，， ，
，

故答案为：． 4、(1)计算(log23+log43)(log32+log274)的值.(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)解:(1)原(2)∵18b=5,∴b=log185.∴log3645 考向四  对数的综合运算1、如果lg 2=m,lg 3=n,则等于(　　)(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】因为lg 2=m,lg 3=n,所以===.故选C.2、若lg x=m,lg y=n,则lg -lg()2的值为(　　)(A)m-2n-2 (B)m-2n-1(C)m-2n+1 (D)m-2n+2【答案】D【解析】因为lg x=m,lg y=n,所以lg -lg()2=lg x-2lg y+2=m-2n+2.故选D.3、已知3a=5b=A,若+=2,则A=　　　　. 【答案】【解析】因为3a=5b=A>0,所以a=log3A,b=log5A.由+=logA3+logA5=logA15=2,得A2=15,A=.4、已知log23=t,则log4854=　　　(用t表示). 【答案】【解析】log23=t,则log4854===. 5、解下列关于x的方程:(1)lg=lg(x-1);(2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).【答案】(1)x=2 (2)x=0【解析】(1)原方程等价于解之得x=2.经检验x=2是原方程的解,所以原方程的解为x=2.(2)原方程可化为log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1).即log4=log4.整理得=,解之得x=7或x=0.当x=7时,3-x<0,不满足真数大于0的条件,故舍去.x=0满足,所以原方程的解为x=0.6、求值:(1)2log2-lg 2-lg 5+;(2)lg 14-2lg+lg 7-lg 18;(3)计算:.【答案】(1)  (2)0  (3)1【解析】(1)2log2-lg 2-lg 5+=2×-lg 10+()=1-1+=.(2)lg 14-2lg+lg 7-lg 18=lg[14÷()2×7÷18]=lg 1=0.(3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3, 分母=(lg 6+2)-lg 6+1=3,所以原式=1.7、已知a,b,c是△ABC的三边,并且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有等根,试判断△ABC的形状.【答案】△ABC是直角三角形 【解析】由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,2lg a-lg(c2-b2)=0,lg =0,=1,a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.