第4章专题6 对数函数以及图像与性质（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

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对数函数的图像与性质（二）考向一  对数函数的定义域1、函数的定义域是　　A． B． C．，，   D．，，【分析】令对数的真数大于0；分母非0，列出不等式组，求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得且故选：．2、设集合，集合为函数的定义域，则　　A． B．， C．， D．，【分析】先化简集合，再根据并集的定义即可求出．【解答】解：，，的定义域为，，，故选：．【点评】本题考查集合的并集的求法，是基础题．解题时要认真审题．3、函数的定义域是　　A．， B．， C．， D．，【分析】首先由根式有意义得到，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，即，解得．所以原函数的定义域为．故选：． 4、对数表达式中的的取值范围是　　．【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可．【解答】解：对数式的底数需大于0不等于1，真数大于0；故需：的取值范围是：，，．故答案为：，，．【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题．5、函数的定义域是　　．【分析】根据函数的定义为使函数的解析式有意义的自变量取值范围，我们可以构造关于自变量的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：要使函数有意义，则需满足解之得，且，函数的定义域是，，．故答案是，，．【点评】本题考查了函数定义域的求解，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．6、若对任意恒有意义，则实数的范围　　．【分析】根据对数函数成立的条件进行讨论，分别进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则当意时，恒成立，即．若时，当时，此时不成立．若，当时，作出函数和的图象，当时，，得，即，若对任意恒有意义，则，即实数的范围是．故答案为：． 考向二  复合函数的单调性 1、已知函数在，上是增函数，则实数的取值范围是　　A．， B．，， C． D．，，【分析】先考虑函数，在，上是增函数，再利用复合函数的单调性得出求解即可．【解答】解：设函数，，，，在，上是增函数，函数在，上是增函数，，故选：．  考向三  复合函数的单调性应用（最值与值域，解不等式） 1、已知函数的值域为，，则函数的定义域是　　A．， B．， C．， D．，，【分析】由题意可得，化简可得．再由，求得得范围，即可得到函数的定义域．【解答】解：已知函数的值域为，，，即，化简可得．再由 可得，故函数的定义域为，，故选：．【点评】本题主要考查对数函数的定义域和值域，关键在于等价转化，属于中档题．2、已知函数的值域为，则实数的取值范围为　　A．， B．， C．，， D．【分析】结合对数函数的值域为，等价转化为是值域的子集，利用一元二次函数的性质进行转化求解即可．【解答】解：函数的值域为，设，则能取边所有的正数，即是值域的子集，当时，的值域为，满足条件．当时，要使是值域的子集，则满足得，此时，综上所述，，故选：．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的值域为，等价转化为是值域的子集是解决本题的关键．3、若定义运算，则函数的值域是　　A． B．， C．， D．，【分析】即取、的较大者，求出函数的表达式为分段函数，在每一段上求函数的值域，再取并集即可．【解答】解：由题意得，，当时函数为，因为在，为增函数，所以，，当时函数为，因为在为减函数，所以，由以上可得，，所以函数的值域为，，故选：．4、若函数有最小值，则的取值范围是　　．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数的单调性，进而分和两种情况讨论：①当时，考虑对数函数的图象与性质得到的函数值恒为正；②当时，△恒成立，没有最大值，从而不能使得函数有最小值．最后取这两种情形的并集即可．【解答】解：令，①当时，在上单调递增，要使有最小值，必须，△，解得；②当时，没有最大值，从而不能使得函数有最小值，不符合题意．综上所述：；故答案为：．5、函数 在时的值域为　　．【分析】利用换元法，令由 可得，由题意可得，又因为函数在，单调递减，从而可求函数的值域．【解答】解：令， 因为，所以，则，又因为函数在，单调递减，当是函数有最小值，当时函数有最大值8；故答案为：【点评】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题．6、若函数，且的值域为，则实数的取值范围是　　．【分析】函数，且的值域为，则其真数可取实数中每一个正数，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．【解答】解：函数，且的值域为，其真数可取每一个正数，即不恒成立，即存在使得，又且故可求的最小值，令其小于等于4，解得，故实数的取值范围是，，故应填，，7、已知，若，则的取值范围为　　A．，， B． C． D．，，【分析】求出函数的定义域，再求出单调性，利用单调性求解不等式即可得结论．【解答】解：由题意可得，解得，即函数的定义域为，因为在区间上，函数单调递增，函数单调递增，所以函数在区间上单调递增，又（2），所以，即为（2），所以，解得或．故选：．8、已知函数，则使得成立的的取值范围　　A． B． C． D．，，【分析】先利用函数奇偶性的定义得到是偶函数，是偶函数，令，，则，利用对勾函数的单调性结合复合函数的单调性得到当时，为减函数；当时，为增函数，原不等式等价于（1），所以，从而得出的取值范围．【解答】解：，，是偶函数，令，，，当时，为减函数；当时，为增函数，则当时，为减函数；当时，为增函数，，，（1），，，解得：，故选：． 考向四  复合函数的奇偶性 1、已知是奇函数，且当时，.若，则__________．【答案】【解析】由题意知是奇函数，且当时，，又因为，，所以，两边取以为底数的对数，得，所以，即．2、若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为　　　　. 【答案】0【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.3、已知是定义在上的偶函数，且时，．（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；（2）若，将不等式进行转化即可求实数的取值范围【解答】解：（1）令，则，时，，则．（2）（Ⅲ）在，上为增函数，在上为减函数（1），或．【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键4、已知是定义在上的偶函数，且时，（1）求（3）；（2）求函数的解析式；（3）若，求实数的取值范围．【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可求（3）（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；（3）若，将不等式进行转化即可求实数的取值范围．【解答】解：是定义在上的偶函数，时，，（3）；令，则，时，，则．（Ⅲ）在，上为增函数，在上为减函数（1），或【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．5、已知函数，其中且．（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）若，求使成立的的集合．【分析】（1）根据函数解析式有意义的条件即可求的定义域；（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断的奇偶性；（3）根据，可得：，根据对数函数的性质即可求使的的解集．【解答】解：（1）要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为；（2），是奇函数．（3）若，，解得：，，若，则，，解得，故不等式的解集为．【点评】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质． 6、已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．【分析】（1）函数的图象关于原点对称，可得，整理得恒成立，即可得出答案（2）时，恒成立，求出时，的最大值，即可解出的取值范围（3）由于在，上是增函数，在，上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案【解答】解：（1）函数的图象关于原点对称，，即，，恒成立，即，即恒成立，所以，解得，又时，无意义，故；（2）时，恒成立，即，在恒成立，由于是减函数，故当，函数取到最大值，，即实数的取值范围是；（3）在，上是增函数，在，上是减函数，只需要即可保证关于的方程在，上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得，解得，即当时关于的方程在，上有解．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题 考向五  分段函数的综合性质1、设函数 ，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意或或或，则实数的取值范围是; 2、函数在区间，上的值域为，，则的最小值为　　．【分析】先画出函数图象，再数形结合得到、的范围，最后计算的最小值即可【解答】解：函数的图象如图而（3）由图可知，，，的最小值为，时，即故答案为 考向六  复合函数性质的综合应用  1、已知函数．（1）若定义域为，求实数的取值范围；（2）当时，解不等式．【分析】（1）转化为判别式△，即可；（2），将不等式转化为，再结合定义域即可得到范围．【解答】解：（1）由已知得解集为，△，解得；（2）时，，，，，令，则，或，或，又，，综上，的解集为或且．【点评】本题考查了恒成立问题，不等式的解法．主要考查分析和解决问题的能力，解题时注意定义域优先，本题属于基础题．2、已知函数．（1）若的定义域为，求的取值范围；（2）若，求单调区间；（3）是否存在实数，使在上为增函数？若存在，求出的范围？若不存在，说明理由．【分析】（1）恒成立，△（2）求出转化为二次函数问题（3）根据符合函数单调性求解．【解答】解：（1）函数的定义域为，恒成立，△，即的取值范围（2），．，或设，对称轴，在上为减函数，在上为增函数根据符合函数单调性规律可判断：在上为增函数，在上为减函数（3）函数．设，可知在上为减函数，在上为增函数在上为增函数且，且，不可能成立．不存在实数，使在上为增函数．【点评】本题综合考察了函数的性质，结合不等式求解，对函数理解的比较透彻才能做这道题．3、设函数，且．（Ⅰ）求（3）的值；（Ⅱ）令，将表示成以为自变量的函数；并由此，求函数的最大值与最小值及与之对应的的值．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式求得（3）的值．（Ⅱ）令，则，且，令，利用二次函数的性质求得的最值以及此时对应的的值．【解答】解：（Ⅰ）函数，且，故（3）．（Ⅱ）令，则，且，令，故当时，函数取得最小值为，此时求得；当时，函数取得最大值为12，此时求得．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，属于中档题．4、设集合，，（1）求集合，；（2）若集合，且满足，求实数的取值范围．【分析】（1）集合即函数定义域，即，的值域．（2）先求出集合，由 可得，，解不等式得到实数的取值范围．【解答】解：（1），，，，，．（2）集合，，，，实数的取值范围．【点评】本题考查函数的定义域、值域的求法，利用集合间的关系求参数的取值范围．5、已知函数．（1）若，求的取值范围．（2）若，，求的值域．【分析】（1）通过，列出不等式即可求的取值范围．（2），，求出的范围，利用对数函数的单调性求解求的值域．【解答】解：（1）函数，，即，，．（2），，，，，，，．所以的值域为，．【点评】本题考查函数的应用，对数不等式的解法，考查计算能力．6、已知函数的定义域是，．设．（1）求函数的解析式及定义域；（2）求函数的最值．【分析】第一步得到解析式和的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础．【解答】解：（1）由题意可得，且，进一步得：，且定义域为【2，8】， （2）令，则，，，在【1，3】递减的值域为【（3），（1）】，即【，1】，当时，有最小值，当时，有最大值1．【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大．7、已知，函数．（1）当时，解关于的不等式；（2）设，若对任意，，函数在区间，上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数的取值范围．【分析】（1）将的值代入得到关于的不等式，解出即可；（2）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）时，，令，即，，故不等式的解集是；（2）函数在区间，上单调递减，由题意得，即，即，即，设，则，，当时，，当时，，在上递减，，，实数的取值范围是．【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．