第4章专题8 函数的零点-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

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函数的零点考向一  求函数的零点 1、函数y=4x-2的零点是(　　)(A)2    (B)(-2,0)    (C)（,0）    (D)【答案】D【解析】令y=4x-2=0,得x=.所以函数y=4x-2的零点为.故选D.2、函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是(　　)(A)-1   (B)1     (C)-2   (D)2【答案】B【解析】由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x1,x2满足x1+x2=-=-2,所以方程的另一个根为1.故选B.3、已知函数f（x）、g（x）：x0123f（x）2031 x0123g（x）2103则函数y=f（g（x））的零点是A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】由题意，函数的零点，令，可得，解得，选B．4、若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是(    )A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】因为函数的两个零点是2和3，所以的两根为2和3，因此有，所以，于是或，所以函数的零点是和;  考向二  判断函数零点所在的区间 1、下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)【答案】A【解析】因为B,C,D项函数的图象均与x轴有交点,所以函数均有零点,A项的图象与x轴没有交点,故函数没有零点,故选A.2、函数f(x)=ln x+x2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a的取值范围是(　　)(A)   (-e2,0)       (B)  (-e2,1)          (C)   (1,e)      (D)  (1,e2)【答案】A【解析】因为f(x)在其定义域内是增函数,且f(x)有唯一的零点在(1,e)内,所以解得-e2<a<0.故选A.3、函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为(　　)(A)[,]   (B)[,]   (C)[0,]   (D)[,1]【答案】A【解析】因为f()=+log2<0,f()=+log2>0,所以f()·f()<0,故函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为[,].故选A.4、函数的零点所在区间为(      )A．（0，1） B．（1，2）C．（2，3） D．（3，4）【答案】B【解析】由函数f（x）＝x3+x–5可得f（1）＝1+1–5＝–3<0，f（2）＝8+2–5＝5>0，故有f（1）f（2）<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点所在区间为（1，2），故选B． 5、设函数与的图象的交点为，则所在的区间为(　　)A. B.C. D.【答案】C【解析】令，则，故的零点在内，因此两函数图象交点在内，故选C. 考向三  二分法求函数的零点 1、某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为A．f（0.5）    B．f（1.125）      C．f（1.25）            D．f（1.75）【答案】C【解析】∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C．2、下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(     )A． B．C． D．【答案】D【解析】根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D．3、用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是（      ）A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125） 【答案】C【解析】由由二分法知，方程的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．故选C．4、在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)A．[1,4]            B．[－2,1]            C．           D．【答案】D【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为.5、下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是(　　) ①y＝3x2－2x＋5；②③；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.A．①②③              B．⑤               C．①⑤             D．①④【答案】B【解析】由二分法的过程可知，函数零点左右的函数值异号时才可以用二分法求解，所以①②③④均可.⑤中y＝x2＋4x＋8=0，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.  考向四  判断零点的个数1、已知函数的图象是连续不断的曲线，有如下的与的对应值表：
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 那么，函数在区间上的零点至少有       【答案】3【解析】观察对应值表可知，，，，，，，，∴函数在区间上的零点至少有3个.2、函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内零点的个数为(　　)(A)0                  (B)1                        (C)2                 (D)3【答案】C 【解析】由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞).由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根.令y1=|x-2|,y2=ln x(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.3、方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是　　　　　. 【答案】2【解析】因为a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图所示,所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.即方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两个解.4、已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=-,则函数f(x)在(-2,2]上零点的个数是(　　)(A)5                      (B)6                  (C)7                (D)8【答案】B【解析】法一　由-=0,解得x=,所以f()=0.因为f(2-x)=f(x),所以f()=f(2-)=f()=0.因为f(x)是奇函数,f(-)=-f（）=0,f(0)=0,f(2)=f(0)=0,所以f(x)在(-2,2]上零点为-,-,0,,,2,共6个.法二　依题意,作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象可知,f(x)的图象在(-2,2]内与x轴的交点有6个.所以f(x)在(-2,2]上的零点有6个.5、函数的零点个数是（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函数有意义，则x2﹣4≥0，即x2≥4，x≥2或x≤﹣2．由f（x）＝0得x2﹣4＝0或x2﹣1＝0（不成立舍去）．即x＝2或x＝﹣2，∴函数的零点个数为2个．  考向五  已知零点个数，求参数的取值范围 1、函数 f(x)＝|x|－k 有两个零点，则(　　)A.k＝0 B.k>0C.0≤k<1 D.k<0【答案】B【解析】令，变为，画出和的图像如下图所示，由图可知可以取任何的正数，故选B.2、已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　　. 【答案】(3,+∞)【解析】作出f(x)的大致图象(图略).当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则4m-m2<m,即m2-3m>0.又m>0,解得m>3.3、设是方程的解，且，则________.【答案】【解析】令，且在上递增，，在内有解，，故答案为.4、已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是 __________.【答案】【解析】由函数图象与轴只有一个交点在区间上，所以当时和当时函数值异号，得，即，解得或; 5、已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是          【答案】[–1，+∞）【解析】：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，6、已知函数f(x)=(1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.【答案】(1)  [-1,1]   (2)a的取值范围是(-∞,0).【解析】(1)若a=0,则f(x)=当x∈[0,1]时,f(x)=-x2是减函数.所以-1≤f(x)≤0;当x∈(1,4]时,f(x)=-1是增函数.所以0<f(x)≤1.于是当x∈[0,4]时,f(x)的值域为[-1,1].(2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a或x=2a.由+a-1=0解得x=(1-a)2.因为f(x)恰有三个零点,所以解得a<0.所以实数a的取值范围是(-∞,0). 
7、已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是. 【答案】(-4,-3).【解析】令f(x)-x+b=0,所以b=x-|x(x+3)|,作出y=x-|x(x+3)|的图象,要使函数y=f(x)-x+b有四个零点,则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4<b<-3. 8、函数在R上无零点，求实数a的取值范围．【答案】（–4，0]【解析】（1）当a＝0时，f（x）＝–1，符合题意；（2）若a≠0，则f（x）为二次函数，∴＝a2+4a<0，解得–4<a<0．故a的范围是（–4，0]．9、对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.(1)若有两个不动点为，求函数的零点；(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】 (1)由题意知：f(x)＝x，即x2＋(b－1)x＋c＝0有两根，分别为－3,2. 所以，所以，从而f(x)＝x2＋2x－6，由f(x)＝0得x1＝－1－，x2＝－1＋.故f(x)的零点为－1±.(2)若c＝，则f(x)＝x2＋bx＋，又f(x)无不动点，即方程＋bx＋＝x无解，所以即－2b＋1<0，所以b>.故b的取值范围是b>.