第5章专题14 三角函数的应用及综合复习-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

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三角函数的应用及综合复习考向一  三角函数的应用 1．一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移与时间的函数关系式是，其中是重力加速度，当小球摆动的周期是时，线长等于 (  )A．           B．           C．          D．【答案】D【解析】∵，∴，∴.2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则的图象大致是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：.结合图象知应该选C.3．某人的血压满足函数关系式，其中，为血压，为时间（单位：分钟），则此人每分钟心跳的次数是    (  )A．                B．              C．          D．【答案】C【解析】∵，∴.4．夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是 （  ）A．        B．            C．          D．【答案】C【解析】由题意以及函数的图象可知，，，所以，.∵，∴. ∵，∴,∴.∵图象经过点，∴，∴，∴可以取，∴.当时，，故选C.5．一半径为的水轮，水轮的圆心到水面的距离为，已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面距离与时间(秒)满足函数关系式，则(  )A．，                 B．，C．，                 D．，【答案】A【解析】，，.6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆／分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ）A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20]【答案】C【解析】函数可看成由和合而成，那么由（）得，所以函数在（）上单调递增，当时，，此时；故选C．7、如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为，圆上最低点与地面距离为，秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离为.(1)求与间关系的函数解析式；(2)设从开始转动，经过秒到达，求与间关系的函数解析式．【答案】(1)    (2)【解析】(1)过点作地面的平行线，过点作的垂线交于点．当时，，；当，时，上述解析式也适合．综上所述，.(2)点在上逆时针运动的角速度是，∴秒转过的弧度数为，∴．8、某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH,其中M,H分别在OA,OB上,N在上.设∠MON=θ,▱OMNH的面积为S.(1)将S表示为关于θ的函数;(2)求S的最大值及相应的θ值.【答案】（1）S=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈；（2）θ=时,S取得最大值R2.【详解】(1)如图,过N作NP⊥OA于点P,过H作HE⊥OA于点E,∵∠AOB=,∴OE=EH=NP=Rsin θ,OP=Rcos θ,∴HN=EP=OP-OE=R(cos θ-sin θ),∴S=HN·NP=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.(2)S=R2(cos θsin θ-sin2θ)=R2=R2(sin 2θ+cos 2θ-1)=R2,∵θ∈,∴2θ+,∴当2θ+,即θ=时,S取得最大值,且最大值为R2. 考向二  三角恒等变换1、已知sin α+sin β=，cos α+cos β=，则=          .【答案】【解析】由sin α+sin β=，可得2sincos=，①由cos α+cos β=，可得2coscos=，②由可得=．所以===．2．（1）化简；（2）已知为第二象限角，化简．【解答】解：（1）；（2）为第二象限角，．3．（1）已知，化简求值：；（2）化简求值：．【解答】解：（1），．（2）．4．已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值．【解答】解：（1）由，得，则，解得：；．（2）是第三象限的角，．又．．5．求证：【解答】证明：，，左端右端．得证．6．求值：（1）（2）．【解答】解：（1）．（2）．7．（1）化简：；（2）证明：．解：（1）原式．（2），原等式成立．8．（1）已知，，，求；（2）求值：．【解答】解：（1），，，；（2）原式． 考向三  三角函数综合复习1、函数 的最小正周期是(　　)A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】函数
最小正周期．
故选B．2、能使函数 的图象关于原点对称，且在区间上为减函数的的一个值是(　　) A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】函数的图象关于原点对称，
函数是奇函数，满足，
得，
，；
又
在区间上是减函数，
，
令，得集合，且，；
由此可得：取，；
，满足题设的两个条件．
故选：． 3、 的最小值是(　　) A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】
，
．
故选B．4、已知函数f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)在区间上的值域是，则常数ω所有可能的值的个数是(　　)A．0 B．1           C．2           D．4【答案】C【解析】函数f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx，化简可得f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin＋，因为x∈，f(x)∈，所以－1≤sin≤0，则≤－≤，又T＝＝，所以≤≤，即≤ω≤3，sin＝0的结果必然是x＝或.当x＝时，解得ω＝满足题意，当x＝时，解得ω＝满足题意．所以常数ω所有可能的值的个数为2.故选C.5、已知函数f（x）=2sin2x+2sin xcos x－1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（  ）A．                 B．         C．        D．【答案】D【解析】f（x）=2sin2x+2sin xcos x－1==2（）=2．∵f（x）的图象关于点（φ，0）对称，∴2sin（2φ－）=0，则2φ－=kπ，φ=．取k=0时，φ=．∴φ的值可以是．6、把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，将其图像向左平移个单位长度后得到函数的图象，则其对称轴为即，所以，则。因为，所以的最小值为，故选C7、将函数的图象向右平移个单位，平移后的图象关于轴对称，则周期的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数为，则，故，当时，正数取最小值.因此，函数周期的最大值为.故选：A.8、函数的最小值为 ________答案：解析：由题意得，
，
，，则，
函数的最小值，
故答案为：．9、函数，则的最大值为________．答案：解析：设，则，，当时，取最大值为.  故的最大值为.10、已知函数．求的单调递增区间．解答：由题意，，由正弦函数的性质，令，解得，所以的单调递增区间是．11、已知函数 ．(1)  求函数 的最小正周期与对称轴方程；(2)  求函数 的单调递增区间．(1) 求函数 的最小正周期与对称轴方程；【答案】最小值正周期 ，对称轴方程为：【解析】因为 ，
所以 的最小值正周期 ．
由 ，
解得 的对称轴方程为：．
(2) 求函数 的单调递增区间．【答案】【解析】当 ，
即 时， 为增函数，
所以 的增区间为 ．12、已知函数，(1)  求的零点；(2)  求的最大值和最小值。（1）求的零点【答案】或【解析】令，得，
所以或．
由， 得；
由， 得．
综上，函数的零点为或(2) 求的最大值和最小值【答案】，【解析】
因为，
所以．
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最小值为．