所属成套资源：人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）
3.1函数定义域、值域和解析式求法小专题-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）
展开函数定义域、值域和解析式求法小专题考点一：函数定义域的求法复合函数求定义域的题型： 注意1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量的取值集合。 注意2：在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同。题型1：已知的定义域，求的定义域；例1：已知的定义域是，求的定义域。1.解：是由，复合而成，，即， 题型2：已知的定义域，求的定义域；例2：已知的定义域是，求的定义域。2.解：是由，复合而成，，，即。 题型3：已知的定义域，求的定义域；例3：已知的定义域是，求的定义域。3.解：是由，复合而成，，即，即，是由，复合而成，，即，即。 巩固练习：1.（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f (x＋2)的定义域为______________。（2）已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为____________。 1：【解析】（1）∵1≤x＋2≤4，∴－1≤x≤2 （2）∵－1＜x＜0，∴－2＜2x＜0，∴－1＜2x＋1＜1 2.（1）已知函数f(x)的定义域为[－5，5]，则f (3－2x)的定义域为_______。（2）已知函数f(x＋1)的定义域为[0，3]，则f(x2)的定义域为_______。2.（1）[－1，4]，（2）0≤x≤3，1≤x＋1≤4，1≤x2≤4，则－2≤x≤－1或1≤x≤2 3.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数的取值范围是__________。3.【解析】：≥1 考点二：确定函数解析式的方法1.构造法：已知f [g(x)]的解析式，要求f(x)的解析式，从f[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”，两边用“x”代替“g(x)”即可得到f(x)的解析式。1.若f()＝，求f(2)1.【解析】∵ f () ＝＝ ∴ f (x) ＝∴ f(2) ＝＝ 2.（1）已知f (x＋)＝x2＋ ，求f (x) （2）已知f (＋1)＝x＋2，求f (x)2.【解析】：（1）f(x)＝x2－2 （2）f (x) ＝x2－1 2.换元法：已知函数f [g(x)]的解析式，令g(x)＝t，求f(t)的解析式，用x代替两边所有的t，即可。 3.已知函数f (2x＋1) ＝x2－2x，求f (1)3.【解析】令2x＋1＝t，则 x ＝ ∴ f (t )＝()2－2×＝∴ f (x)＝ ∴ f (1) ＝＝0 4.已知f (＋1)＝x＋2，求f (x)4.【解析】：f (x) ＝x2－1 3.方程组法：已知f(x)与f[g(x)]满足的关系式，要求f(x)时，用g(x)代替两边所有的x，得到关于f(x)，f[g(x)]的方程组，解方程组得f(x)。5.已知函数f (x)满足，f(x)－2 f ()＝3x＋2，求f (x)的解析式。5.【解析】：用代替x得：f ()－2 f (x)＝3×＋2∴ 解之得：f (x)＝－x－－2 6.已知函数f(x)满足：f (x)＋2 f (－x)＝x2＋x，求函数f(x)的解析式。6.【解析】：f(x) ＝ 4.待定系数法：（1）、初中所学一次函数、反比例函数、二次函数解析式的求法。一次函数：f(x)＝kx＋b (k≠0) ； 反比例函数：f (x)＝(k≠0)， 二次函数：（2）若已知f(x)函数的类型，求f(x)的解析式，可根据类型设其解析式，然后确定其系数即可。 7.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋3，求f (x)的解析式。7.【解析】设：f(x)＝kx＋b (k≠0) ∴ f[f(x)] ＝f (kx＋b)＝ k(kx＋b)＋b ＝k2x＋kb＋b ＝4x＋3∴ 解之得或 ∴ f (x)＝2x＋1 或 f (x)＝－2x－3 8.已知函数f(x)是一次函数，且2 f (1)＋3 f (2)＝3，2 f (－1)－3 f (0)＝－1，求f (x)的解析式。8.【解析】设：f(x)＝kx＋b (k≠0)，由题意得 解之得： ∴f (x)＝x－1 9.（1）已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝9x＋8，求f (x)的解析式。（2）已知一次函数f(x)满足：3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式。9.【解析】（1）f (x)＝3x＋2 或 f (x)＝－3x－4 （2）f (x)＝2x＋7 考点三：几种值域的求法1．直接法：利用常见函数的值域来求例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1x1) ② ③ ④ 解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵ ∴，即函数的值域是 { y| y2}③ ，∵ ∴ 即函数的值域是 { y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①； ②；③； ④；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.②在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④在[0,5]上，=-3，=6；值域为[-3，6].3．判别式法（△法）：例3．求函数的值域方法一：去分母得 (y1)+(y+5)x6y6=0 ①当 y1时 ∵xR ∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0，由此得 (5y+1)0检验 时 （代入①求根）∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1综上所述，函数的值域为 { y| y1且 y}方法二：把已知函数化为函数 (x2) 由此可得 y1 ， ∵ x=2时 即 ∴函数的值域为 { y| y1且 y}4．换元法例4．求函数的值域解：设 则 t0 x=1代入得 ∵t0 ∴y4 5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}. 巩固练习：1.；解：∵x0，，∴y11.另外，此题利用基本不等式解更简捷： 2.∵2-4x+3>0恒成立(为什么？)，∴函数的定义域为R，∴原函数可化为2y-4yx+3y-5=0，由判别式0，即16-4×2y(3y-5)=-8+40y0(y0),解得0y5，又∵y0, ∴0<y5.3.求函数的值域①； ②解：①令0,则,原式可化为,∵u0，∴y，∴函数的值域是（-，].②解：令 t=4x0 得 0x4 在此区间内 (4x)=4 ，(4x) =0∴函数的值域是{ y| 0y2} 4.求函数y=值域解：∵，∴函数的定义域R，原式可化为,整理得，若y=1,即2x=0,则x=0；若y1,∵R，即有0，∴,解得且 y1.综上：函数是值域是{y|}.
