3.2.1 单调性与最大（小）值-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

单调性与最大（小）值【要点梳理】要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间上是增函数；如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.要点诠释：(1)属于定义域A内某个区间上；(2)任意两个自变量且；(3)都有；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.要点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间；④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？3．函数的最大（小）值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有（或）；②存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.要点诠释：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；②对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；③使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.5.函数单调性的判断方法(1)定义法；(2)图象法；(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.要点二、基本初等函数的单调性 1．正比例函数当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.2．一次函数当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.3．反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.4．二次函数若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．要点三、一些常见结论(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. 【典型例题】类型一、函数的单调性的证明例1．讨论函数的单调性，并证明你的结论.【解析】设，则，.，即.在上单调递减.同理可得在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减.故函数在和上单调递增；在和上单调递减.      类型二、求函数的单调区间例2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；                      (2)  举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；       (2)       (3)；       （4）y=|x2-2x-3|.         例3.已知函数的定义域为，且对任意的、均有，且对任意的，都有.（1）试说明：函数是上的单调递减函数；（2）试求函数在（且）上的值域.     举一反三：【变式1】已知的定义域为，且当时.若对于任意两个正数和都有，试判断的单调性.   【变式2】已知增函数y=f（x）的定义域为且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足f（x）+f（x﹣3）≤2的x的范围．    类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例4. 已知函数是定义域为的单调增函数．（1）比较与的大小；（2）若，求实数的取值范围．    例5. 求下列函数的值域：(1)；   ①x∈[5，10]；   ②x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)；(3)；(4).    举一反三：【变式1】已知（1）画出这个函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数f（x）的最大值和最小值．       例6.求在区间[0，2]上的最大值和最小值.   类型四、抽象函数的单调性及应用例7．已知：函数对一切实数x，y都有成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，设P：当时，不等式恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩CRB（R为全集）．        【巩固练习】1．定义域上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有(    )A．函数先增后减              B．函数先减后增C．函数是上的增函数        D．函数是上的减函数  2．在区间上为增函数的是(    )A．      B．      C．      D．  3．函数的一个单调递减区间可以是（     ）A.[-2，0]      B.[0，2]      C.[1，3]      D. [0，+∞）  4．已知是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是（    ）A．    B．    C．    D．  5．函数的值域为(    )A．      B．      C．      D．  6．设，函数的图象关于直线对称，则之间的大小关系是（   ）   A.       B. C.       D. 7．已知函数若，则实数的取值范围是（   ）A．     B．      C．     D．  8．在函数的图象上任取两点，称为函数从到之间的平均变化率.设函数，则此函数从到之间的平均变化率为（   ）.A．        B．  C．         D．   9．函数的单调递增区间为（     ）A．      B．      C．      D．  10．函数的值域是____________.  11．函数与在区间（1，2）上都单调递减，则实数a的取值范围是________．      12．函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：① 函数是单函数；② 若为单函数，且，则；③ 若f：A→B为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；④ 函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 13．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.     14．已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．