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3.3-3.4 幂函数及其应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）
展开幂函数及图象变换【要点梳理】要点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．要点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．如：的图象变换，（1）平移变换y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（）、右（）平移y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（）、下（）平移（2）对称变换y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称y=f(x)→ 图象关于直线y=x对称（3）翻折变换： y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数） y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。【典型例题】类型一、求函数解析式例1.已知幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式．【解析】幂函数（k∈N*）的图象关于y轴对称，所以，，解得－1＜k＜3，因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数（k∈N*）在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1，函数的解析式为：．举一反三：【变式1】已知幂函数的图象过点，则= ．【解析】设，则由图象过点，可得，即 ，所以，即．类型二、幂函数的图象例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内． 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 举一反三：【变式1】幂函数在第一象限内的图象如图所示，已知分别取-1，四个值，则相应图象依次为： ．【答案】 【变式2】 已知幂函数的图象如图所示，则（ ）A.均为奇数，且 B.为偶数，为奇数，且C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且【答案】D．由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知．类型三、幂函数的性质例3.比较下列各组数的大小.(1) 与 (2)与 （3）和 【解析】(1) 由于幂函数()单调递减且，∴.(2)由于这个幂函数是奇函数.(x>0)单调递减，且，∴ .即.（3）， 举一反三：【变式1】比较，，的大小.【解析】在上单调递增，且，.作出函数与在第一象限内的图象，易知. 故.类型四、求参数的范围例4.已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数．（1）求m的值；（2）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求k的取值范围．【解析】（1）依题意得：，解得m=0或m=2当m=2时，在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m=0．（2）由（1）知，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A=[1，4]，B=[2―k，4―k]，∵，∴解得，0≤k≤1故实数k的取值范围为[0，1] 【变式1】若，求实数a的取值范围.解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:(1) (2) (3) (4)分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).∴a的取值范围是.解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，∴ 要使， 即， 解得:. 类型五、幂函数的应用例5.已知函数为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围． 【解析】（1）∵f（x）为偶函数，∴为偶数，又f（3）＜f（5），∴，即有：，∴ ，∴，又m∈Z，∴m=0或m=1．当m=0时，为奇数（舍去），当m=1时，为偶数，符合题意．∴m=1，（2）由（1）知：（a＞0且a≠1）在[2，3]上为增函数．令，；①当a＞1时，为增函数，只需在区间[2，3]上为增函数．即：②当0＜a＜1时，为减函数，只需在区间[2，3]上为减函数．即：，综上可知：a的取值范围为：（1，2）． 类型六：基本初等函数图象变换例6．作出下列函数的图象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3). 举一反三：【变式1】作出的图象．【解析】先画出的图象，然后如下图： 【变式2】作函数的图象． 巩固练习1．函数的定义域是( C )A.[0，+∞） B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.R2．设，则使为奇函数且在上单调递减的的值的个数是（ A ）．A. 1 B. 2 C. 3 D. 43．当时，下列函数的图象全在直线下方的偶函数是（ B ）．A. B. C. D. 4．如果是幂函数，则在其定义域上是（ D ）．A.增函数 B.减函数 C.在上是增函数，在上是减函数 D.在上是减函数，在上也是减函数5. 如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小( )A．B．C．D．5.【答案】D【解析】在上单调递减的幂函数，幂指数小于0，故，故选D．6. 三个数，，的大小顺序是( )A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c 6.【答案】B【解析】因为指数函数是减函数，所以，故．又幂函数在上是减函数，所以，故，所以．7．已知幂函数（k∈R，a∈R）的图象过点，则k+a=（ ）A． B．1 C． D．27．【答案】A【解析】∵幂函数（k∈R，a∈R）的图象过点，∴k=1，，∴；∴．8.若幂函数存在反函数，且反函数的图象经过则的表达式为( )A. B. C. D. 8.【答案】B 反函数图象经过，故原函数图象经过，所以，得9.函数的定义域是 .9.【答案】【解析】原函数，所以解得 10.已知，且，则 .10.【答案】-26 令，则为奇函数，又=10，，11．已知幂函数，若，则的取值范围是 11．【答案】(3,4)【解析】由题意，因为是幂函数，所以x＞0，且是递减函数又因为，所以有 ，即，所以12．幂函数在（0，+∞）上为增函数，则m=________．12．【答案】2【解析】∵函数为幂函数，且在（0，+∞）是偶函数，∴，解得m=2，或m=―1．当m=―1时，幂函数在（0，+∞）上是减函数，不满足题意，应舍去；当m=2时，幂函数在（0，+∞）上是增函数，满足题意；∴实数m的值为2．13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在第一象限是单调递减函数．（1）求m的值；（2）解不等式f（1－2x）≥f（2）．13．【解析】因为幂函数的图象关于y轴对称，所以函数f（x）是偶函数，∴为偶数，∴为奇函数，故m=1；（2）∵定义域为，在第一象限是单调减函数，f（x）为偶函数，又f（1－2x）≥f（2），∴|1－2x|≤2，且解得：． 14．已知函数（m∈Z）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2），求g（x）的定义域和值域．14．【解析】（1）∵f（x）在（0，+∞）单调递增，由幂函数的性质得，解得，∵m∈Z，∴m=0或m=1．当m=0时，不是偶函数，舍去；当m=1时，是偶函数，∴m=1，；（2）由（1）知，由得－3＜x＜1，∴g（x）的定义域为（―3，1）．设，x∈（－3，1），则t∈（0，4]，此时g（x）的值域，就是函数，t∈（0，4]的值域．在区间（0，4]上是增函数，∴y∈（－∞，2]；∴函数g（x）的值域为（－∞，2]．
