4.2 指数函数及其性质 -【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

指数函数及性质要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则②如果，则对于一些函数，如，当时，在函数值不存在．③如果，则是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=ax 0<a<1时图象a>1时图象 图象  性质①定义域R，值域（0，+∞）②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③ax=a，即x=1时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时，ax>1x>0时，0<ax<1⑤x<0时，0<ax<1x>0时，ax>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）指数函数与的图象关于轴对称． 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（令比较）4.（1）指数函数的底数满足：，的图像如图所示：  （2）特殊函数的图像：   【典型例题】类型一、函数的定义域、值域例1．求下列函数的定义域、值域.(1)；    (2)y=4x-2x+1；    (3)；    (4)(a为大于1的常数)  举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)       (2)      (3)      (4)   类型二、指数函数的单调性及其应用例2．讨论函数的单调性，并求其值域．    举一反三：【变式1】求函数的单调区间及值域.       例3．讨论函数的单调性． 举一反三：【变式1】 求函数(x[-3，2])的单调区间，并求出它的值域.    例4．(1)1.8a与1.8a+1   (2)   (3)22.5，(2.5)0，   (4) 举一反三：【变式1】比较大小： ，，；         【变式2】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.    【变式3】如果（，且），求的取值范围．  类型三、判断函数的奇偶性例5．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)   举一反三：【变式1】判断函数的奇偶性：.      类型四：指数函数的图象问题例6．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．   举一反三：【变式1】 设，c＜b＜a且，则下列中一定成立的是（    ）A．    B．    C．    D．   例7．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值范围是         ．  举一反三：【变式1】如图是指数函数①，②，③，④的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为（    ）A．a＜b＜1＜c＜d      B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d      D．a＜b＜1＜d＜c  例8．已知函数．（1）作出函数f（x）的图象；（2）指出该函数的单调递增区间；（3）求函数f（x）的值域．    类型五：指数函数性质的综合例9．设（a，b为实常数）。（1）当时，证明：①不是奇函数；②是上的单调递减函数。（2）设是奇函数，求与的值。          巩固练习1．函数在R上是减函数，则的取值范围是（     ）A．         B．          C．        D． 2．已知定义在上的奇函数和偶函数满足，若，则（    ）A．2    B．         C．         D．  3．用表示三个数中的最小值．设，则的最大值为（     ）A．4      B．5      C．6      D．7  4．函数的值域是（     ）A．     B．  　　C．      D．  5．已知，则函数的图像必定不经过（     ）A．第一象限      B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限  6．（2015年山东高考）设函数则满足的a的取值范围是（   ）A．      B．[0,1]      C．      D．[1,+∞）  7．一批设备价值万元，由于磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（     ）A．     B．      C．    D．  8．设函数若，则的取值范围是_________．  9．函数的值域是区间，则与的大小关系是      .   10．函数的值域是            ． 11．方程的实数解的个数为             ．  12．若函数（a∈R）满足f（2+x）=f（2－x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值为________．  13．设，解关于的不等式． 14．已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为.（Ⅰ）求在上的解析式；   （Ⅱ）求在上的最值．          15．已知函数的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）－f（x+2）（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）若x∈[0，1]，求函数g（x）的最大值和最小值．