- 4.1 指数与指数幂的运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版) 其他 2 次下载
- 4.2 指数函数及其性质 -【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版) 其他 2 次下载
- 4.4.3 指数函数、对数函数、幂函数综合-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版) 其他 2 次下载
- 4.5.1 函数与方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版) 其他 2 次下载
- 4.5.2 复合函数的零点问题 中等-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版) 其他 2 次下载
4.3 对数及对数运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版)
展开对数及对数运算
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
要点诠释:
对数式logaN=b中各字母的取值范围是:a>0 且a1, N>0, bR.
2.对数具有下列性质:
(1)0和负数没有对数,即;
(2)1的对数为0,即;
(3)底的对数等于1,即.
3.两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数,.以e(e是一个无理数,)为底的对数叫做自然对数, .
4.对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
要点二、对数的运算法则
2.对数的运算性质
如果,且,,,那么:
1. ·+;
2. -;
3. .
注意:换底公式
- (,且;,且;).
利用换底公式推导下面的结论:
- 6.
7.
对数的性质:
8. 9. (,且)
【典型例题】
类型一、指数式与对数式互化及其应用
例1.将下列指数式与对数式互化:
(1); (2); (3);
(4); (5); (6).
【解析】(1); (2); (3);
(4); (5); (6).
举一反三:
【变式1】求下列各式中x的值:
(1) (2) (3)lg1000=x (4)
【解析】(1);
(2);
(3)10x=1000=103,于是x=3;
(4)由.
【变式2】计算:并比较.
【解析】
.
类型二、利用对数恒等式化简求值
例2.求值:
【解析】.
举一反三:
【变式1】求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)
【解析】.
类型三、积、商、幂的对数
例3. 表示下列各式
【解析】(1);
(2);
(3);
(4)=.
举一反三:
【变式1】求值
(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【解析】(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】(1)已知,则 .
(2)已知,求.
【解析】(1)∵ ,∴,,
∴.故答案为:1.
(2),,又,故
故,又,从而,
故.
类型四、换底公式的运用
例4.求值:(1) ;
(2) ;
(3) .
【解析】(1)
(2);
(3)
类型五、对数运算法则的应用
例5.(1)计算:
(2)
(3)
(4)若,求x的值.
【解析】(1)
(2)原式=
=
(3)原式=
(4)∵,∴,∴
∴ ,解得x=-1或x=2,∵x>0,∴x=2
举一反三:
【变式1】求值:
【解析】
例6.设函数
(1)当a=0.1,求f(1000)的值.
(2)若f(10)=10,求a的值;
【解析】(1)当a=0.1时,
∴
(2)∵
∴ ,∴
∴ 或,∴ 或
举一反三:
【变式1】若是方程的两个实根,求的值.
【解析】原方程可化为,设,
则原方程化为..
由已知是原方程的两个根,则,即,
=
==.
即.