4.4.3 指数函数、对数函数、幂函数综合-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

指数函数、对数函数、幂函数综合类型一：指数、对数运算例1．计算（1）；        （2）； （3）；        （4） 【解析】（1）原式=；（2）原式=       =       =1-+=1  （3）原式===2+=3；（4）令，两边取常用对数得=    = =即=14．举一反三：【变式1】=（    ）A．0      B．1      C．2      D．4【答案】C【解析】=．【变式2】（1）；   （2）．【解析】（1） 原式           ；（2） 原式           ． 类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质例2．设偶函数满足，则= （    ）A．        B．     C．         D． 【解析】且是偶函数．，或或，解得或，故选B． 举一反三：【变式1】已知函数若，则的取值范围是（     ）．A．     B．或    C．    D．或【答案】A【解析】依题意或即或，所以．  例3．设函数 若，则实数的取值范围是（     ）A．            B．   C．          D． 【答案】C【解析】一：①若，则，，得，得，得．②若则，，，解得由①②可知 例4．函数的单调递增区间是（    ）A．（3，+∞）     B．（－∞，3）     C．（4，+∞）     D．（－∞，2）【答案】D【解析】函数是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是 例5．已知函数（a＞0，a≠1）在区间[―1，2]上的最大值为8，最小值为m．若函数是单调增函数，则a=________．【解析】根据题意，得3－10m＞0，解得；当a＞1时，函数在区间[－1，2]上单调递增，最大值为，解得，最小值为，不合题意，舍去；当1＞a＞0时，函数在区间[―1，2]上单调递减，最大值为，解得，最小值为，满足题意；    综上，．举一反三：【变式1】已知，该函数在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P（a，b），则由点P构成的点集组成的图形为（   ）A．线段AD                B．线段ABC．线段AD与线段CD      D．线段AB与BC【答案】C【解析】∵函数的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图．当x=1时，函数取最小值1，若，则x=0，或x=1而函数|在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]，则或，则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为：   【变式2】已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（     ）．A．（1，10）        B．（5，6）        C．（10，12）         D．（20，24）【答案】C 【解析】由互不相等，结合图象知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设，由得即，所以，所以.      类型三：综合问题例6．已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围 【解析】（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）=－f（－1）知 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于=，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式（或: 即对一切有：，又∴     举一反三：【变式1】已知函数，（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）设，解不等式f（x）＞0．【解析】（1）依题意知，解得函数f（x）的定义域为．（2）函数是奇函数任取，，所以=0所以函数是奇函数．（3）因为，所以由，得解得，．     例7．设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围． 【解析】依题意，在上恒成立．则设只需求的最大值，任取且，            =由于是单调递减函数，即在上是单调递增的，  举一反三：【变式1】设函数．（1）求的定义域；（2）求使在上恒成立的实数的取值范围．【解析】（1），即若，则的定义域为；若，则的定义域为；若，则的定义域为．（2）①当时，在的定义域内，等价于，即，于是问题等价于在上恒成立．令，则在上递减，在上递增，，即．另一方面要使在上恒成立，则必是定义域的子集，由（1）可知由且可知．②当时，在的定义域内，等价于，于是问题等价于在上恒成立．显然这样的实数不存在．综上所求的的取值范围为．      【巩固练习】1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（    ）A．    B．    C．      D．1．【答案】A  【解析】．2．设函数f（x）＝则满足的的取值范围是（    ）A．    B．   C．   D．2．【答案】D  【解析】不等式等价于或，可得或，即3．函数在上递减，那么在上（    ）A．递增且无最大值    B．递减且无最小值    C．递增且有最大值    D．递减且有最小值3．【答案】A  【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值．4．若函数（a＞0，a≠1）为增函数，那么的图象是（  C  ）              A．                  B．                 C．                 D．5．函数的定义域为（    ）；A．          B．   C．          D． 5．【答案】D  6．已知是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（   ）A．（0，1）      B．（1，2）      C．（0，2）      D．[2，+∞）6．【答案】B【解析】∵在[0，1]上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），即．∴，∴1＜a＜2． 7．已知, 判断、、之间的大小关系是（     ）．A．    B．      C．     D． 7．【答案】B 【解析】因为函数是单调递减的，又，所以．因为函数在上是增函数，又，所以8．函数的反函数是（    ）A．                     B．      C．                     D． 8．【答案】D  【解析】由，解得即，故所求反函数为  9．不等式的解集为         ．9．【答案】  【解析】依题意得，，，即，解得． 10．已知函数，对任意都有，则、 、的大小顺序是         ．10．【答案】    【解析】因为，所以函数的对称轴为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以11．若函数定义域为R，则a的取值范围是________．11．【答案】[－1，0]  【解析】∵函数定义域为R∴恒成立即恒成立,则，解得－1≤a≤0 12．若函数是奇函数，则为           ．12．【答案】2    13．已知，求函数的值域．13．【答案】  ，令则，，即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值-24，即的最大值为12，最小值为-24，所以函数的值域为． 14．已知函数，其中x∈[0，3]．（1）求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若实数a满足：f（x）－a≥0恒成立，求a的取值范围．14．【解析】（1）∵（0≤x≤3）∴（0≤x≤3），令，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8．令（1≤t≤8）当t∈[1，2]时，h（t）是减函数；当t∈[2，8]时，h（t）是增函数．∴，（2）∵f（x）－a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．∴a≤f（x）min恒成立．由（1）知，∴a≤－10．故a的取值范围为（－∞，－10]15．已知函数（1）当a=4时，求函数f（x）的定义域；（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≥2成立，求实数a的取值范围．15．【答案】（1）（―∞，―1）∪（1，+∞）；（2）【解析】（1）当a=4时，要使函数式有意义，则｜2x－1｜+｜x+2｜＞4，分类讨论如下：①当时，2x－1+x+2＞4，解得x＞1；②当时，1－2x+x+2＞4，解得－2≤x＜－1；③当x＜―2时，1―2x―x―2＞4，解得x＜－2，综合以上讨论得，x∈（―∞，―1）∪（1，+∞）；（2）∵f（x）≥2恒成立，∴|2x―1|+|x+2|―a＞4恒成立，分离参数a得，a＜|2x―1|+|x+2|―4，所以，a≤[|2x―1|+|x+2|―4]min，记g（x）=|2x―1|+|x+2|―4，分析可知，当时，，所以，实数a的取值范围为．