5.2.2 同角三角函数的基本关系式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

同角三角函数基本关系要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：(2)商数关系：(3)倒数关系：，，要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形：，2．商数关系式的变形。 【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。【解析】 ∵tan=－2，∴sin=－2cos   ①  ，    又sin2+cos2=1    ②由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即。当为第二象限角时，，代入①得。当为第四象限角时，，代入①得。 举一反三：【变式1】已知是的一个内角，且，求【解析】为钝角，由平方整理得：类型二：利用同角关系求值例2．已知：（备注：）求：（1）的值；（2）的值；（3）的值；（4）及的值【解析】（1）由已知，，（2），（3），（4）由，解得或 举一反三：【变式1】已知0＜x＜π，sin、cos是方程的两实根，求：（1）m的值；（2）求sin、cos、tan的值；（3）的值．【解析】（1）∵0＜＜π，sin、cos是方程的两实根，∴，，∵，解得：；（2）∵  ①，，∴，∴  ②，  联立①②解得：，，；（3）∵，，∴原式      ． 例3．已知tan=3，求下列各式的值：（1）；（2）． 【解析】（1）∵原式∴分子分母都除以cos，得原式（2）∵原式∴将分子化成1=sin2+cos2，可得原式再将分子分母都除以cos2，得原式 举一反三：【变式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值；（2）已知，求的值。【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2，∴原式      。（2）由，得，解得：∴。  类型三：利用同角关系化简三角函数式例4．化简：（1）；（2）；（3）； （4）【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式= ==，