人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数同步训练题

第四章  指数函数与对数函数

【4.4.3   不同函数增长的差异】

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题型一   不同函数增长的差异

1、下列函数中，随的增大，增长速度最快的是（    ）

A.         B.         C.          D.

【答案】C【解析】四个函数中，增长速度由慢到快依次是，，，。

2、甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．

【答案】219.01

3、某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为万元(4≤≤10)时,奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过销售利润的,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 5≈0.7)(　　)

A.y=0.4x     B.y=lg x+1

C.     D.y=1.125x

解析：B　A选项中,当x=10时,y=4,超过2万元,不符;

B选项中,y=lg x+1在[4,10]上是增函数,x=10时,ymax=2,结合图象知,lg x+1<在x∈[4,10]上恒成立.故B符合;

C选项中,当x=10时,y=>2,超过2万元,不符;

D选项中,当x=10时,y=,

设=a,

则lg a=10(lg 9-lg 8)=10(2lg 3-3lg 2)≈0.6.

因此a≈100.6>>2,超过2万元,不符.故选B.

题型二   图像信息问题

4、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所走的路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是(　　)

解析：B　乌龟保持匀速前进,兔子在中间一段时间内路程是不变的,且当乌龟到达终点时兔子还未到达终点,结合图象可知B正确.

5、如下图，△ABC为等腰直角三角形，直线与AB相交且⊥AB，直线截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线的距离为x，则y=f (x)的图象大致为下图中四个选项中的（    ）

【答案】C

【解析】 设AB=a，则，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方，故选C．

6、高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)

【答案】B【解析】v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.

题型三   函数模型

7、一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．

【解析】设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅游收费为y，旅游原价为a.

甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)＝(x＋3)；

乙旅行社收费：y＝(x＋2)．

∵(x＋2)－(x＋3)＝(x－1)，

∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．当x＞1时，甲旅行社更优惠.

8、某债券市场发行三种债券，A种面值为100元,一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元。作为购买者，分析这三种债券的收益，如果之能购买一种债券，你认为应购买哪种？

【答案】购买B种债券。【解析】A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，因此100元一年到期的本期和为元，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本期和为元，收益为3.09元。故购买B种债券。

9、某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．

(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；

(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．

【答案】（1）y＝－2x＋24{x∈N|0≤x≤12}；（2）这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.

【解析】　(1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b(k≠0)，当x＝4时，y＝16，

当x＝7时，y＝10，得到16＝4k＋b,10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，

∴y＝－2x＋24.依题意有解得定义域为{x∈N|0≤x≤12}．

(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，x∈[0,12]且x∈N.所以当x＝6时，Smax＝72，

此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920.

故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.

能力提升                                                  思维拓展  探究重点

1、函数与函数在区间上增长较快的一个是         。 

 【答案】【解析】 当x变大时，x要比增长要快，∴比增长要快。

2、某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价元与日销售量件之间有如下关系：

（1）确定与的一个一次函数关系式；

（2）若日销售利润为P元，根据（Ⅰ）中关系写出P关于的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？

【答案】当x=42时，P最大=432,

【解析】（I）因为f(x)为一次函数，设y=ax+b，解方程组

得a=－3，b=162,

故y=162－3x为所求的函数关系式，

又∵y≥0，∴0≤x≤54．

（II）依题意得：

当x=42时，P最大=432,

即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润

3、如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．

（1）写出y的表达式；

（2）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．

【解析】（1）单位时间的淋雨量为：

 总的淋雨量为：，

     即

（2）①当即时

 在上单调递减

      时，最小，．

②当即时

在上单调递减，在上单调递增．

 当时，最小，．

答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，