高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算学案及答案

   6.2.4向量的数量积

第1课时　向量的数量积的概念

导学案

编写：廖云波      初审：孙锐      终审：孙锐  廖云波

【学习目标】

1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；

2.知道向量的投影向量；

3.记住数量积的几个重要性质．

【自主学习】

知识点1  向量的夹角

(1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则        称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是0≤〈a，b〉≤π.

在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．

 (2)当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.

知识点2  向量数量积的定义

(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

(2)规定：零向量与任一向量的数量积为    .

知识点3  投影向量

如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b       ，叫做向量a在向量b上的         ；

如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则       就是向量a在向量b上的投影向量．

知识点4　数量积的几个性质

设a、b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

(1)a·e＝e·a＝        .

(2)a⊥b⇔        .

(3)当a与b同向时，a·b＝      ；当a与b反向时，a·b＝       .

特别地，a·a＝     或|a|＝.

(4)|a·b|≤      |.

【合作探究】

探究一  向量的夹角问题

【例1】在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：

(1)与的夹角大小；

(2)与的夹角大小．

归纳总结：

【练习1】已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β.求α＋β.

探究二  向量数量积的运算

【例2】已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．

归纳总结：

【练习2】已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，

分别求a与b的数量积．

探究三  向量的投影

【例3】已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.

归纳总结：

【练习3】已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．

探究四  平面向量数量积的性质

【例4】已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.

归纳总结：

【练习4】已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为(　　)

A．4  B．－4  C．2  D．－2

2．已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

3．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　)

A．45°  B．135°  C．120°  D．150°

4．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　)

A．－3  B．－2  C．2  D．－1

5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)

A.  B．－  C．±  D．1

6．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　)

A．0  B．2  C．4  D．8

二、填空题

7．已知|a|＝2，|b|＝10，〈a，b〉＝120°，则向量b在向量a方向上的投影是____，向量a在向量b方向上的投影是____．【来源：】

8．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.

9．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．

10．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.

三、解答题

11．已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列条件时，能确定△ABC的形状吗？

(1)a·b<0；         (2)a·b＝0；        (3)a·b>0.

12．已知正三角形ABC的边长为1，求：

(1)·；        (2)·；         (3)·.

13．已知向量a，b满足|a|＝12，|b|＝15，|a＋b|＝25，求|a－b|.

14．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：

(1)·；(2)在方向上的投影；(3)在方向上的投影．

B组 能力提升

一、选择题

1．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于(　　)

A．150°  B．120°  C．60°  D．30°

2．如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 ·的值为(　　)

A．r B．2r 

C．1 D．2

3．(多选题)对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是(　　)

A．若a·b＝b·c，则a＝b

B．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2

C．若a∥b，则a在b上的投影的数量为|a|

D．若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，则a∥b

二、填空题

4．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．

5．如图所示，一个大小为5 N，与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上，小车沿水平方向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为3 N，方向水平向左．小车向右运动的距离为2 m的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力F对小车做的功(取cos 37°≈0.8)为________．小车克服阻力做的功为________．

6．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·(e1－e2)＝0，且b·e1＝1，则|b|＝________.

三、解答题

7．已知△ABC的面积为S满足≤2S≤3，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．