高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案，文件包含624向量的数量积的运算解析版docx、624向量的数量积的运算原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共43页， 欢迎下载使用。
6.2.4平面向量的数量积
2课时 向量数量积的运算律
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.了解数量积的运算律
2.会用向量数量积的公式解决相关问题．
【自主学习】
知识点1 向量数量积的性质
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．
(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.

知识点2 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

【合作探究】
探究一 向量的数量积的运算律
【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
[分析]　根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．
[解]　(1)a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×(－)＝－3.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.
归纳总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
【练习1】已知向量a与b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，则a·(2a＋b)等于 .
答案：2
解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.
探究二 向量的模
【例2】已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.
[答案]　
[分析]　利用模的公式和数量积的运算律进行求解．
[解析]　因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，
所以|a－3b|＝＝＝＝.
归纳总结：
(1)要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.
(2)已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.
【练习2】已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝ .
答案：3
解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.
探究三 向量的夹角
【例3】已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)
A.　　　 B.
C. D.
[答案]　C
[分析]　利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解．
[解析]　设a，b夹角为θ，由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosθ＝＝＝－，所以θ＝.
归纳总结：求两向量a，b的夹角，通常借助于公式计算
【练习3】设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
答案：(－7，－)∪(－，－)
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cosθ＝