数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

   6.3.1平面向量的基本定理

导学案

编写：廖云波      初审：孙锐      终审：孙锐  廖云波

【学习目标】

1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.

2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.

3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

【自主学习】

知识点1 平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个       向量，

那么对于这一平面内的       向量a，               实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：把        的向量e1，e2叫做表示这一平面内       向量的一组基底．

知识点2  两向量的夹角与垂直

(1)夹角：已知两个      向量a和b，如图，作＝a，＝b，

则       ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．

①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．

②当θ＝0°时，a与b      ．

③当θ＝180°时，a与b     ．

(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.

【合作探究】

探究一  基底的概念

【例1】下面说法中，正确的是(　　)

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

③零向量不可作为基底中的向量；

④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．

A．②④               B．②③④

C．①③               D．①③④

归纳总结：

【练习1】设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　 　)

A．e1＋e2和e1－e2   B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2   D．e1和e1＋e2

探究二  用基底表示向量

【例2】如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，用向量a、b表示.

归纳总结：

【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若＝a，＝b，试以{a，b}为基底表示、.

探究三  平面向量基本定理的应用

【例3】如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.   B.－

C.   D.

归纳总结：

【练习3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP : PM与BP : PN的值．

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．等边△ABC中，与的夹角是(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．120°

2．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)

A．e1－e2，e2－e1  B．2e1＋e2，e1＋e2

C．2e2－3e1,6e1－4e2  D．e1＋e2，e1－e2

3．下面三种说法中，正确的是(　　)

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．

A．①②  B．②③  C．①③  D．①②③

4．若a、b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则(　　)

A．a＝0，b＝0  B．λ＝μ＝0

C．λ＝0，b＝0  D．a＝0，μ＝0

5.如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若＝a＋b，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足(　　)

A．a>0，b>0  B．a>0，b<0

C．a<0，b>0  D．a<0，b<0

6．下列说法中，正确说法的个数是(　 　)

①在△ABC中，{，}可以作为基底；

②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；

③零向量不能作为基底．

A．0  B．1   C．2  D．3

7．如图，设O是▱ABCD两对角线的交点，有下列向量组：

①与；

②与；

③与；

④与.

其中可作为该平面内所有向量基底的是(　 　)

A．①②  B．①③

C．①④  D．③④

8．M为△ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则＋＋等于(　　)

A．6  B．－6  C．0  D．6

二、填空题

9.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)

10.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.

11．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.

12．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝____________.(用b、c表示)

13．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝3.

14.如图，平面内有三个向量、、.其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

15．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

三、解答题

16.如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且AN＝NC，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.

17.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，

求证：AP∶PM＝4∶1.

18．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，

(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.

(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.

B组 能力提升

一、选择题

1.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（　　）

A． B．

C． D．

2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则（    ）

A． B． C． D．

3.中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

5.如图，正方形中，是的中点，若，则（     ）

A． B． C． D．

6.如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

7.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则(    )

A． B． C． D．

二、填空题

8.如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．

9.在中，D为线段上一点，且，若，则        .

10.在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是          .

三、解答题

11.如图，△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于G，求及的值．