高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示学案

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

 导学案

编写：廖云波      初审：孙锐      终审：孙锐  廖云波

【学习目标】

1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题

2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法

【自主学习】

知识点1  复数的三角形式的运算

设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则

(1)乘法：z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

(2)除法：z1÷z2＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z2≠0)，

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

(3)乘方：zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)．

(4)开方：＝(cos＋isin)(k＝0,1,2，…，n－1)．

知识点2  复数三角形式乘、除运算的几何意义

两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义．

z2≠0，的几何意义是把z的对应向量按顺时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商.

【合作探究】

探究一  复数的三角形式的乘、除运算

【例1】(cos＋isin)·(cos＋isin)．

[解]　(cos＋isin)·(cos＋isin)

＝·[cos(＋)＋isin(＋)]

＝(cos＋isin)

＝(＋i)＝＋i.

归纳总结：r1cosθ1＋isinθ1·r2cosθ2＋isinθ2＝r1r2[cosθ1＋θ2＋isinθ1＋θ2]计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.

【练习1】设复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2＋z的模和辐角．

解：z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ

＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ

＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ)

＝2coscos＋i(2sincos)

＝2cos(cosθ＋isinθ)

＝－2cos

.

∵θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，

∴－2cos>0，

所以复数z2＋z的模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)．

探究二  复数的乘、除运算的几何意义

【例2】向量与－1＋i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到，求与向量对应的复数

[解]　将向量逆时针方向旋转120°，得到，由于模未发生变化，应当是对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)，

即z′＝(－1＋i)(cos120°＋isin120°)＝(cos135°＋isin135°)(cos120°＋isin120°)＝(cos255°＋isin255°)＝－i.

归纳总结：利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便

【练习2】如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝.

证明：∠1，∠2，∠3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i的辐角主值，这样∠1＋∠2＋∠3就是(1＋i)(2＋i)(3＋i)＝10i的辐角，∠1，∠2，∠3都是锐角，所以∠1＋∠2＋∠3＝.

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．复数(sin10°＋icos10°)3的三角形式为(　　)

A．sin30°＋icos30°　　　　 B．cos240°＋isin240°

C．cos30°＋isin30° D．sin240°＋icos240°

【答案】B

2．若z＝cos θ－isin θ，则使z2＝－1的θ值可能是(　　)

A．0　　　　B.     C．π　　　　D．2π

【答案】B

解析：∵z＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)，

∴z2＝z·z＝cos(－2θ)＋isin(－2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1，

∴∴θ＝.

3．4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝(　　)

A．6＋6i B．6－6i

C．－6＋6i D．－6－6i

【答案】D

解析：4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos210°＋isin210°)＝12＝－6－6i.故选D.

4．复数z1＝1，z2是由z1绕原点O逆时针方向旋转而得到，则arg()的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】D

5．(多选)设z1、z2是复数，argz1＝α，argz2＝β，则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的(　　)

A．α＋β B．α＋β－2π

C．2π－(α＋β) D．π＋α＋β

【答案】ABC

解析：因为argz1＝α，argz2＝β，所以α∈[0,2π)，β∈[0,2π)，而arg(z1·z2)∈[0,2π)，则当α＋β∈[0,2π)时，arg(z1·z2)＝α＋β；当α＋β∈[2π，4π)时，α＋β－2π∈[0,2π)，则arg(z1·z2)＝α＋β－2π；当α＋β＝π时，2π－(α＋β)＝π＝α＋β，此时arg(z1·z2)＝α＋β＝2π－(α＋β)，故选ABC.

二、填空题

6．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是               .

【答案】－－i，－i

解析：∵－i＝cos＋isin，其立方根是cos＋isin，k∈0,1,2，即i，－－i，－i.

三、解答题

7．计算：4(cos＋isin)÷2(cos＋isin)．

解：原式＝2[cos(－)＋isin(－)]

＝2(cos＋isin)＝2i.

8．把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角主值．

解：由复数乘法的几何意义得

z1(cos＋isin)＝z2(cos＋isin)，

又z2＝－1－i＝2(cos＋isin)，

∴z1＝

＝2[cos(3π－)＋isin(3π－)]

＝－＋i，z1的辐角主值为.

9．计算：(cos＋isin)·4(cos＋isin)．

解：原式＝4[cos(＋)＋isin(＋)]

＝4(cos＋isin)＝2＋2i.

10．若z＝(cos＋isin)，求z2与z3的值．

解：z2＝z·z＝()2[cos(＋)＋isin(＋)]

＝3(cos＋isin)＝＋i.

z3＝z·z·z＝()3[cos(×3)＋isin(×3)]

＝3(cos＋isin)＝3i.

11．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，

并证明S△AOB＝|α|2.

解：△AOB为等腰直角三角形．

证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，

∴＝1＋i＝(cos＋isin)，∴∠AOB＝；

∵，分别表示复数α，β－α，

由β－α＝αi，得＝i＝cos＋isin，

∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．

∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2.

12．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．

解：因为z1＝2(cos＋isin)，设z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，所以z1z＝8[cos(2α＋)＋isin(2α＋)]．由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2(cos＋isin)＝－1＋i.

B组 能力提升

一、选择题

1．复数z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，则n的最小值是(　　)

A．1 B．3

C．5 D．7

【答案】C

解析：因为z＝sin－icos＝cos＋isin，所以zn＝cosπ＋isinπ，＝cos－isin＝cos＋isin.因为zn＝，所以π＝＋2kπ，n＝，因为n∈N，k∈Z，所以当k＝4时，n＝5.

2.设复数z1＝2sinθ＋icosθ(<θ<)在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数z2＝r(cosφ＋isinφ)，则tanφ＝(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】A

二、填空题

3．(1－i)7＝64－64i.

解析：(1－i)7＝7

＝27

＝128＝64－64i.

三、解答题

4．若z∈C，|z－2|≤1，求|z|的最大值，最小值和argz范围．

解：如图，由|z－2|≤1，知z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心，1为半径的圆面(包括圆周)，|z|表示圆面上任一点到原点的距离．

显然1≤|z|≤3，∴|z|max＝3，|z|min＝1，

另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|＝1，|OC|＝2知∠AOC＝∠BOC＝，∴argz∈[0，]∪[π，2π)．

5．已知复数z1＝－2＋i对应的点为P1，z2＝－3＋4i对应的点为P2，把向量绕P1点按顺时针方向旋转后，得到向量，求向量和点P对应的复数分别是什么？

解：由题意知向量对应的复数是z2－z1＝(－3＋4i)－(－2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法的几何意义得，向量对应的复数是(－1＋3i)·＝3＋i，最后由复数加法的几何意义得，向量＝＋，其对应的复数是(－2＋i)＋(3＋i)＝1＋2i，故点P对应的复数为1＋2i.

6．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．

解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，

即|z1－z2|＝，

所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，

又argz2＝，

所以z2＝(cos＋isin)，z1＝z2＝(1＋i)z2

＝(cos＋isin)·(cos＋isin)

＝2(cos＋isin)，

所以z1的立方根为[cos＋isin]，k＝0,1,2，

即(cos＋isin)，(cos＋isin)，

(cos＋isin)．