人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积学案设计

   8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

导学案

编写：廖云波      初审：谭光垠      终审：谭光垠  廖云波

【学习目标】

1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积

2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积

【自主学习】

知识点1　棱柱、棱锥、棱台的表面积

1．棱柱的表面积

棱柱的表面积：S表＝          ．

①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝          ；

②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝          ；

③棱长为a的正方体的表面积：S表＝          .

2．棱锥的表面积

棱锥的表面积：S表＝S侧＋          ；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝          .

3．棱台的表面积

棱台的表面积：S表＝          ．

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．

知识点2　棱柱、棱锥、棱台的体积

1．棱柱的体积

(1)棱柱的高是指          之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝          .

2．棱锥的体积

(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，          与          (垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝          .

3．棱台的体积

(1)棱台的高是指          之间的距离．

(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝          ．

【合作探究】

探究一  多面体的表面积

【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为________．

归纳总结：

【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要     m2铁板(精确到0.1 m2)．

探究二  多面体的体积

【例2】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．5

C．6   D.

归纳总结：

【练习2】三棱台ABC­A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为(　　)

A．111

B．112

C．124

D．144

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　)

A．　　　 B．

C．　　　   D．

2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)

A．48 B．64　　　

C．16　　　 D．96

3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于(　　)

A．1∶9 B．1∶8 

C．1∶4 D．1∶3

4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(　　)

A．    B．    C．    D．

5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是(　　)

A．＝＋   B．＝＋

C．＝＋   D．＝

二、填空题

6．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．

7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．

8.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d＝________.

三、解答题

9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．

10．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．

11．建造一个容积为16 m3，深为2 m，宽为2 m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．

B组 能力提升

一、选择题

1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　)

A．3π  B．  C．π D．1

2．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为(　　)

A．  B．  C．  D．

二、填空题

3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．

三、解答题

4．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．

5．一个正三棱锥P­ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1­A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？