2020-2021学年第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算练习题

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1．在梯形ABCD中，CD//AB，，点P在线段BC上，且，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，因为，根据向量的运算可得，
所以，故选:B.
2．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】存在实数，使得，
说明向量共线，当同向时，成立，
当反向时，不成立，所以，充分性不成立.
当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，
即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选:B.
3．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝，＝，则向量＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图:
因为点E为CD的中点，CD∥AB，
所以，
所以.故选：C.
4．在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且若，，则＝（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得
，
.
故选：A.
5.已知点M是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解析】设点是上一点,且,点是上一点，且，如下图所示：
由，可知，以为邻边作平行四边形,连接，延长，交于，设,因为，所以，
由平行四边形，可知,设，
，所以,,因此与的面积之比为3，故选: C.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝
D．若向量a与b满足关系，则a与b共线
【答案】ABD
【解析】对于选项A,,向量的相反向量是，正确；
对于选项B,,模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确；
对于选项C,,若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝，错误，因为与可能方向相反；
对于选项D,若向量与满足关系，则与b共线，正确.
故选:ABD.
7．若点D，E，F分别为▵ABC的边BC，CA，AB的中点，且AB=a，BC=b，则下列结论正确的是（ ）
A. DA=a−12bB. BE=−12a+12b
C. CF=−12a−bD. DF=12a+12b
【答案】BC
【解析】如图，DA=−BD−AB=−12BC−AB=−a−12b，故A错误；
BE=12BA+BC=12−AB+BC=−12a+12b，故B正确；
CF=CB+BF=−12AB−BC=−12a−b，故C正确；
可知DF为△ABC的中位线，则DF=12CA=12−AB−BC=−12a−12b，故D错误；
故选:BC．
8．直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足BP=2PC，点M、N在过点P的直线上，若AM=mAB，AN=nAC，m>0,n>0，则下列结论正确的是（ ）
A. 1m+2n为常数 B. m+2n的最小值为3
C. m+n的最小值为169 D. m、n的值可以为：m=12，n=2
【答案】ABD
【解析】如下图所示：
由BP=2PC，可得AP−AB=2(AC−AP)，
∴AP=13AB+23AC，
若AM=mAB，AN=nAC，m>0,n>0，
则AB=1mAM，AC=1nAN，
∴AP=13mAM+23nAN，
∵M、P、N三点共线，
∴13m+23n=1，∴1m+2n=3，
当m=12时，则n=2，
则A、D选项合乎题意；
∵m+2n=(m+2n)(13m+23n)
=2n3m+2m3n+53⩾22n3m⋅2m3n+53=3，
当且仅当m=n时，等号成立，B选项成立；
∵m+n=(m+n)(13m+23n)
=n3m+2m3n+1⩾2n3m⋅2m3n+1=223+1，
当且仅当n=2m时，等号成立，C选项错误．故选：ABD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用 表示)
【答案】
【解析】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，
所以＝,
故答案为：.
如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为___________
【答案】
【解析】由，可得，
所以，
又三点共线，由三点共线定理，可得：，
，故答案为：.
11．知两个非零向量与不共线，，，．
若，则的值为_____________；若，，三点共线，则的值为_____________．
【答案】；.
【解析】∵，
∴．
由，，
又，，三点共线，则，，
得故答案为:；.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．(1)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．
(2)设为的边的中点，，求的值
【答案】(1)1;(2)
【解析】(1)由于A，B，P三点共线，所以向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，即eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1．
(2)∵（）-
∴mn
故答案为：(1)1;(2).
13．设e1,e2是两个不共线向量，已知AB=2e1−8e2，CB=e1+3e2，CD=2e1−e2．
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若BF=3e1−ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
【答案】(1)答案见解析;(2)12
【解析】(1)证明：由已知得BD→=CD→−CB→=e1→−4e2→
∵AB→=2e1→−8e2→
∴AB⇀=2BD→
又∵AB与BD有公共点B
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知知 BD→=e1→−4e2→
∵BF→=3e1→−ke2→，且B，D，F三点共线，
∴BF=λBD λ∈R
即3e1→−ke2→=λe1→−4λe2→，
得λ=3k=4λ
解得k=12．
14．如图所示，在▵ABO中，，OD=12OB，AD与BC 相交于点M.设OA=a，OB=b．
(1)试用向量a→，b→表示OM→；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M.设OE→=λOA→，OF→=μOB→，其中λ,μ∈R.当EF与AD重合时，λ=1，μ=12，此时；当EF与BC重合时，λ=13，μ=1，此时1λ+2μ=5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式1λ+2μ=5恒成立，请说明理由．
【答案】(1)OM=15a+25b;(2)答案见解析
【解析】(1)设OM=ma+nb(m∈R,n∈R)，由A，D，B三点共线，
可知存在，且a≠−1)使得AM⇀=αMD⇀，
则OM⇀−OA⇀=αOD⇀−OM⇀，又OD⇀=12OB⇀，
所以OM=1α+1a+α2(1+α)b，∴m=11+αn=α21+α，即m+2n=1①，
由B，C，M三点共线，可知存在，且β≠−1)使得CM⇀=βMB⇀，
则OM⇀−OC⇀=βOB⇀−OM⇀，又OC⇀=13OA⇀，所以OM=13(β+1)a+β1+βb，
∴m=141+βn=β1+β 即3m+n=1②
由①②得m=15，n=25，故OM=15a+25b．
(2)能得出结论．理由：由于E，M，F三点共线，
则存在实数，且γ≠−1)，使得EM⇀=γMF⇀，
于是OM⇀=OE⇀+γOF⇀1+γ，又OE⇀=γOA⇀，OF⇀=μOB⇀，所以OM=γOA+μγOB1+γ=λ1+γa+μγ1+γb，
所以15a+25b=λ1+γa+μγ1+γb，从而15=λ1+γ25=μγ1+γ,所以消去γ得1λ+2μ=5．