数学必修 第二册7.3* 复数的三角表示巩固练习

第七章    复数

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(基础练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

.故选：C.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

,     故选：C.

3．复数是方程的一个根，那么的值等于（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】由题意得，，故选:B.

4．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】，

-i的立方根为（其中），

当时，得；当时，得；

当时，得，故选:D．

5.将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（    ）

A．2i  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】复数的三角形式是，向量对应的复数

,故选:B

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6．已知i为虚数单位，，，则的三角形式不为下列选项的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】，

.

故选：ABC.

7．下列各角是复数的辐角的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】∵6，

∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.

∴当时，；

当时，；

当时，；

故选：ABD．

8．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角分别是（    ）

A．， B． C． D．

【答案】BD

【解析】由题可知，

则，

可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故可以作为复数的辐角的是，.当时，；故选：BD.

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9．=______________.（用代数形式表示）.

【答案】

【解析】

.

故答案为:

10．__________

【答案】

【解析】

.

故答案为:

11．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.（用代数形式表示）.

【答案】

【解析】由题意得.

故答案为:

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12．计算下列各式，并作出几何解释：

（1）

（2）

（3）

（4）.

【答案】（1）-4，几何解释见解析  （2），几何解释见解析  （3），几何解释见解析  （4），几何解释见解析

【解析】（1）原式.

几何解释：设，

作与对应的向量，然后把向量

绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长

为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的

向量，则即为积所对应的向量.

（2）原式

.

几何解释：设，

作与对应的向量，然后把向量

绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短

为原来的，得到一个长度为、辐角为 的

向量，则即为积所对应的向量.

（3）原式

.

几何解释：设，作与对应的向量，

然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度

缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，

则即为所对应的向量.

（4）原式

.

几何解释：设，

作与对应的向量，然后把向量

绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，

得到一个长度为，辐角为的向量，

则即为所对应的向量.

13．设复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2＋z的模和辐角．

【答案】模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)

【解析】z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ

＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ

＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ)

＝2coscos＋i(2sincos)

＝2cos(cosθ＋isinθ)

＝－2cos .

∵θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，∴－2cos>0，

所以复数z2＋z的模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)．

14．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，

并证明S△AOB＝|α|2.

【答案】△AOB为等腰直角三角形,证明见解析

【解析】证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，

∴＝1＋i＝(cos＋isin)，∴∠AOB＝；

∵，分别表示复数α，β－α，

由β－α＝αi，得＝i＝cos＋isin，

∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．

∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2.