高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后测评

第八章 立体几何初步

8.6.1直线与直线垂直(基础练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c (　　) 　　　　　 　　　　　

A.一定平行                     B.一定垂直

C.一定是异面直线             D.一定相交

【答案】B

【解析】∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.   故选:B

2.如图,在长方体的各条棱所在直线中,与直线异面且垂直的直线有(　　) 条

A.1                             B.2

C.3                             D.4

【答案】D

【解析】直线异面且垂直的直线为, ,,,共4条故选:D

3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G 分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，连接B1G,B1F ．

则异面直线A1E与GF所成角为∠B1GF． △B1GF中，得∠B1GF=. 故选:D

4．已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则 (　　)

A.m与n异面                              B.m与n相交

C.m与n平行                              D.m与n平行、相交、异面均有可能

【答案】D

【解析】　∵m⊥l,n⊥l,∴m与n既可以相交,也可以异面,还可以平行.如图.

故选:D

5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1所成角的余弦值为,则该长方体外接球的表面积为 (　　)

A.98π              B.196π           C.784π          D.π

【答案】B

【解析】如图,连接AC,交BD于点O,则O为AC的中点,取CC1的中点E,连接BE、OE,则AC1∥OE,

∴∠EOB为异面直线BD与AC1所成的角(或其补角).

设CE=x,则BE=,OB=OC=5,OE=.

在△OBE中,由余弦定理得

BE2=36+x2=OB2+OE2-2OB×OE×cos∠EOB,

即36+x2=25+25+x2-,解得x=,

∴CC1=2x=,

∴长方体的体对角线长为=14,

∴长方体的外接球的半径为7,外接球的表面积为196π.故选:B.

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.下列命题中正确的选项是（    ）

A.若两条直线没有公共点，则这两条直线为异面直线

B.若直线a不平行于平面，则内可能存在与a平行的直线

C.平行于同一直线的两个平面平行

D.平行于同一平面的两个直线可能平行、相交、异面

【答案】BD

【解析】若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误；

若直线a不平行于平面，则直线a与平面相交或直线a在平面内，当直线a在平面内时，内存在与a平行的直线，故B正确；

当两个平面相交时，则在这两个平面外与交线平行的直线与这两个平面都平行，故C错误；

平行于同一平面的两个直线可能平行、相交、异面，故D正确；   故选：BD．

7．在正四面体A-BCD中,E、F分别为AB、CD的中点,则下列命题正确的是 (　　)

A.EF⊥AB                                   B.EF⊥CD

C.EF与AC所成的角为                     D.EF与BD所成的角为

【答案】ABC

【解析】如图所示,

将正四面体A-BCD放入正方体中,则正四面体的每一条棱都是正方体的面对角线,E、F分别是上、下底面的中心,∴EF与正方体垂直于底面的棱平行,

∴EF⊥AB,EF⊥CD成立,且EF与AC、BD所成的角都是,故选:ABC.

8．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是AB、A1D1的中点,O为正方形A1B1C1D1的中心,则下列说法正确的是 (　　)

A.直线EF、AO是异面直线                    B.直线EF、BB1是相交直线

C.直线EF与BC1所成的角为30°                D.直线EF与BB1所成角的余弦值为

【答案】ABC

【解析】连接OF,∵O为正方形A1B1C1D1的中心,F是A1D1的中点,

∴OF∥A1B1∥AB,即OF、AE共面,从而EF、AO共面,A中说法错误;

连接B1E,∵F∉平面BEB1,BB1⊂平面BEB1,E∉BB1,E∈平面BEB1,∴EF、BB1是异面直线,B中说法错误;

连接OB,易得FO∥EB,且FO=EB,∴四边形EFOB是平行四边形,∴EF∥BO,

∴∠OBC1是异面直线EF与BC1所成的角或其补角.

设正方体的棱长为1,在△BC1O中,BC1=,OC1=,BO=EF==,

∴cos∠OBC1==,   ∴∠OBC1=30°,C中说法正确;

同理得∠OBB1是EF与BB1所成的角,在△OBB1中求得cos∠OBB1=,D中说法错误.

故选:CD.

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，,则异面直线与所成角的余弦值为________；

【答案】

【解析】如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.

因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.

在Rt△PDA中，由已知，得，

故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

  故答案为:

10．如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,M是AC与BD的交点.

D1M与平面A1C1B的位置关系为______________;BC1与D1M所成角的正弦值为____________.

【答案】∥  

【解析】如图,连接B1D1,交A1C1于点N,连接BN,

∵DD1∥BB1,DD1=BB1,

∴四边形B1D1DB是平行四边形,

∴D1B1∥DB,且D1B1=DB.

易知M,N分别为BD,B1D1的中点,∴D1N=BM,

∴四边形BND1M是平行四边形,∴D1M∥NB,

∵D1M⊄平面A1C1B,BN⊂平面A1C1B,∴D1M∥平面A1C1B.

∴D1M∥NB,

∴BC1与D1M所成的角即为∠C1BN,

易知BN⊥C1N,在Rt△BNC1中,C1N=,BC1=2,

∴sin∠C1BN==,

∴BC1与D1M所成角的正弦值为.  故答案为:∥  

11．在等腰梯形ABCD中,已知AB=AD=CD=1,BC=2,将△ABD翻折成△A'BD,如图,则直线BA'与CD所成角的取值范围是________________

【答案】

【解析】在等腰梯形ABCD中,易知∠ABC=60°,∠ABD=∠CBD=30°,

∴∠A'BD=30°,为定值,∴BA'的轨迹可看作是以直线BD为轴,B为顶点,母线与轴的夹角为30°,母线长为1的圆锥的母线,故点A'的轨迹如图中所示,其中F为BC的中点,过点B作CD的平行线,过点C作BD的平行线,两平行线交于点E,则BA'与BE所成的角即为BA'与CD所成的角.易知CD⊥BD,∴直线A'B与CD所成角的取值范围为.

故答案为:

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12．如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′.

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

【解析】(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．

(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.

(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．

13．如图，是所在平面外一点，分别是,的中点，若，, 求与所成的角.

解：设中点为，连结，

14．如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.

【解析】如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.

则OG∥B1D，EF∥A1C1.

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，

∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

∴DB1⊥EF.