数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案

第六章 平面向量及其应用

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

一、教学目标

1.掌握平面向量数量积的坐标表示；

2.会运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题；

3.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。

二、教学重难点

1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．

2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．

3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．

三、教学过程：

1、复习回顾

平面向量的数量积以及向量线性坐标运算

2.探索新知

问题1.过对平面向量的数量积以及向量线性坐标运算的学习，你能否已根据两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用a和b的坐标表示a·b?

生答：记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j

∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2

重要结论：平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝   x1x2＋y1y2      ，即两个向量的数量积等于      它们对应坐标的乘积的和                ．

问题2.小组合作，请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出向量模的坐标表示、两向量垂直的坐标表示以及两向量夹角的余弦公式？

生1答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0

生2答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝|a||b|cos900＝0

生3答：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.

重要结论：平面向量坐标表示的几个公式

(1)向量模的坐标表示

若a＝(x，y)，则|a|2＝  x2＋y2    ，或|a|＝.

(2)两向量垂直的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔    x1x2＋y1y2＝0       .

(3)两向量夹角的余弦公式

设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.

3.数学运用

例1.(1)已知向量，，若，则=________

(2)已知向量，，则与的夹角=________

解:(1)因为，所以，解得：，

(2)设与的夹角为，则，

又，，即与的夹角是.

变式训练：若向量，，则向量与的夹角的余弦值为_________

解:，，，

则，,，.

例2.已知向量，，若与的夹角是锐角，则求实数的取值范围；

解:由题意 ，即，，∴，

若，则，解得，综上的范围是．

变式训练：设平面向量，，若与的夹角为钝角，则求的取值范围.

解:因为与的夹角为钝角，且不反向， ， 即解得

当两向量反向时，存在使即，解得

所以的取值范围.

例3.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，则求·.

解:

以为坐标原点，建立直角坐标系如图：

因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，

所以，，，，所以，，

则．

四、小结：

1.平面向量数量积的坐标表示；

2.两个向量垂直的坐标表示；

3.运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.

五、作业：习题6.3.5