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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教学设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教学设计,共4页。教案主要包含了教学目标,教学重难点,教学过程,作业等内容,欢迎下载使用。
第六章 平面向量及其应用6.4.1 平面几何中的向量方法一、教学目标1.会用向量方法解决简单的几何问题;2.体会向量在解决几何问题中的作用;3.通过对用向量法解决平面几何问题的学习,培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等数学素养。二、教学重难点1.用向量方法解决几何问题的基本方法:向量法解决几何问题的“三步曲”;2.能够将几何问题转化为平面向量问题。三、教学过程:1、复习回顾(1) 平面两个向量的数量积:;(2) 向量平行的判定: ; (3)向量平行与垂直的判定:;(4)平面内两点间的距离公式: (其中,)(5)求模:; ;2.探索新知 例1.如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF.证明 法一:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<a<1),则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a,∴·=(+)·(+)=·+·+·+·=1×a×cos 180°+1×(1-a)×cos 90°+a×a×cos 45°+a×(1-a)×cos 45°=-a+a2+a(1-a)=0.∴⊥,即DP⊥EF. 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,x),则D(0,1),E(x,0),F(1,x),所以=(x,x-1),=(1-x,x),由于·=x(1-x)+x(x-1)=0,所以⊥,即DP⊥EF.思考:运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤?“三步曲”:(1)构建平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为平面向量问题;(2)通过平面向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角、模等问题;(3)将平面向量运算运算结果“翻译”成平面几何关系.思考:你能总结向量的线性运算法的四个步骤吗?生答:①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化.思考:你能总结向量的坐标运算法的四个步骤吗?生答:①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化.变式训练:如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.解:(基底法)设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0,又=+=-a+,=+=b+,所以·=(b+)·(-a+)=-a2-a·b+=-|a|2+|b|2=0.故⊥,即AF⊥DE.(坐标法)如图建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),所以=(2,1),=(1,-2).因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE.例2.如图所示,以两边为边向外作正方形和,为的中点.求证:.解:因为是的中点,所以.又因为,所以,所以,即.变式训练:在梯形中,,,,,若点在线段上,则求的最小值解:建立如图所示平面直角坐标系:因为,,,,所以,设所以,所以,,所以,当时,的最小值为, 四、小结:1.向量方法解决平面几何问题“三步曲”;2.向量的线性运算法(基底法)的四个步骤:①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化.向量的坐标运算法(坐标法)的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化.五、作业:习题6.4.1
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