2020-2021学年第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第1课时教案设计

这是一份2020-2021学年第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第1课时教案设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，小结，作业等内容，欢迎下载使用。
第六章 平面向量及其应用6.4.3 第1课时 余弦定理一、教学目标1.掌握证明余弦定理的向量方法，熟记公式；2.掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2.掌握余弦定理公式的变式，判别三角形形状；4.通过对余弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.余弦定理的发现和证明过程；2.余弦定理在解三角形时如何进行边角互化。三、教学过程：1、创设情境：     量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角，最后通过计算求出岛B和岛C的长度.问题1：此实际问题如何转化为数学问题？生答：如图，已知：边AB、 AC和角Ａ(两条边、一个夹角)，求边BC.问题2:已知三角形两边分别为b和c,这两边的夹角为A，角A满足什么条件时较易求出第三边a？教师就这个问题提出小组探究活动主题2、探索新知探究1.在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用b，c和A表示a？教师：将数学问题可以先特殊化，A=900，怎么解决？生答：利用勾股定理。问题3：你能利用向量证明勾股定理吗？生答：由想到再平方处理得到。问题4：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，如果是斜三角形，三条边之间的关系又是如何？学生小组活动探讨解决，投影展示学生探讨活动的成果。利用，两边平方得到a2＝b2＋c2－2bccosA，二. 建构数学 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC                                                                         探究2：正弦定理结构的最大特点是什么？等式两边均为齐次式，结构和谐体现了数学的和谐美问题4：正弦定理里面包含了几个等式？每个等式中有几个量？ 生答：3个等式    4个量问题5：使用余弦定理解斜三角形？应用1：已知两边和一个夹角，求第三边．例1.在中，已知b=60cm，c=34cm， ，求（角度精准到 ，边长精确到1cm.）解：由余弦定理，得，所以，变式训练：在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则求解：在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，可得．探究3：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知两边和一个夹角，求第三边，如果知道了三角形的三边能否确定三角形的角，怎么确定呢？生答：，，例2.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则求。解：由，，，可得，由，可得变式训练：在中，内角，，所对的边长分别为，，，如果，，，那么最大内角的余弦值等于　　A． B． C． D．解：在中，，，，是三角形中的最大角，则，即的最大内角的余弦值为．故选：．例3.（1）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（    ）                                  A．4　　　　　　　 B.C.  D．2解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B.∴2＝3＋c2－2·c.即c2－c＋1＝0.解得c＝或c＝，当c＝时，由余弦定理得 cos A＝＝＝.∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝时，由余弦定理得cos A＝＝＝－.∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.解：由余弦定理得bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以a＝2b，即＝2.（3）在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lg b－lg，则  A＝________.解：由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lg b(b＋c)，所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.所以cos A＝＝－.又0°<A<180°，所以A＝120°.（4）在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)A．正三角形    B．直角三角形C．等腰直角三角形   D．等腰三角形解：∵sin2＝＝，∴cosA＝＝⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形． 四、小结：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC                   变形：，，应用:（1）已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； （2）已知三角形的三条边就可以求出其它角。方法:(1)从特殊到一般的方法；(2)向量法证明余弦定理。五、作业：习题6.4.3