高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

第八章 立体几何初步

8.4.1平面

一、教学目标

1.理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法;

2.能运用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;

3.能运用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解它们的地位与作用;

4.通过对平面的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

1.运用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;

2. 三个基本事实的掌握与运用.

三、教学过程：

（1）创设情景

阅读课本,观察课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体,你能理解几何里所说的“平面”吗?(提出本节课所学内容)

（2）新知探究

问题1:用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光能检查桌面是否平整，为什么？

(学生回答，教师点拨,揭示出基本事实1)

问题2:把直尺边缘上的任意两点放到桌面上，则直尺的整个边缘都能落在桌面上吗？为什么？

(学生回答，教师点拨,揭示出基本事实2)

问题3:将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上，试问硬纸板所在的平面与桌面所在的平面仅有一个公共点吗？为什么？

(学生回答，教师点拨,揭示出基本事实3)

（3）新知建构

平面的概念:光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.

平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45º,且横边长等于其邻边长的2倍如图(1).

注意:如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图(2).

平面的表示：常用希腊字母表示，也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面，平面AC等．

点与直线、平面的位置关系:

   文字语言                  图形语言                  符号语言

点A在直线上，                             

点A在直线外                             

点A在平面内和点A在平面外        

直线在平面外                       

直线在平面内                       

平面的基本事实:

推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。

作用：确定一个平面

（4）数学运用

例1.用符号语言表示下列语句，并画出图形.

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；

（2）直线l在平面α内，直线m不在平面α内.

【答案】（1），图形见解析（2），，图形见解析

【解析】（1），

图形如图：

（2），，

图形如图：

或

变式训练1:用符号表示“点在直线上，在平面内”，正确的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由定义：点A在直线l上，表示为，在平面内，表示为.故选：D

变式训练2:(多选)下列叙述中，正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则重合

D．若，则

【答案】AD

【解析】对于选项A：直线上有两点在平面内，则直线在平面内；故A正确；

对于选项B：若，则不一定是两个面的公共点.故B错误；

对于选项C：若，当三点共线时，则不一定重合.

故C错误；

对于选项D：两平面的公共点在公共直线上，故D正确.故选：AD.

例2.如图，已知

求证：。

【解析】∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β.

∴直线a⊂β，点 P∈β.

∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.

又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α.

变式训练:如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（    ）

A．直线                        B．直线        

C．直线                         D．以上均不正确

【答案】C

【解析】，平面平面，，.又三点确定的平面为，.又是平面和的公共点，.故选：C

例3:如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.

求证：（1）四点共面；

（2）三线共点.

【解析】（1）连接.

∵分别是和的中点，∴.

又，

∴四边形是平行四边形，

∴，∴，

∴与确定一个平面，∴四点共面．

（2）由（1）知，，且，

∴直线与必相交，设.

∵平面，，∴平面.

又平面，，

∴平面，即是平面与平面的公共点，

又平面平面，∴，

∴三线共点．

变式训练:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:

(1)D,B,F,E四点共面;

(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.

【答案】证明见解析.

【解析】　(1)连接B1D1,

∵E,F分别为D1C1,C1B1的中点,∴EF∥B1D1.

在正方体AC1中,易知B1D1∥BD,∴EF∥BD,

∴EF,BD可确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.

(2)正方体AC1中,设A1A、CC1确定的平面为α,平面BDEF为β.

∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又Q∈EF,∴Q∈β,

∴点Q在平面α与β的交线上,

同理P∈α,P∈β,

∴点P在平面α与β的交线上,

∴α∩β=PQ.

又A1C∩β=R,∴R∈β,R∈A1C,∴R∈α,

∴R∈PQ,故P,Q,R三点共线.

四、小结：

平面的概念:

平面的画法：

平面的表示：

点与直线、平面的位置关系:

   文字语言                  图形语言                  符号语言

点A在直线上，                             

点A在直线外                             

点A在平面内和点A在平面外        

直线在平面外                       

直线在平面内                       

平面的基本事实:

推论1:

推论2:

推论3:

作用：

五、作业：习题8.4.1